線形代数 - 内積
とある問題でつまずいています。
n次元実ベクトル空間において、
zを任意のn次ベクトル、Aをn×n 行列とし
|| Az || = || z || ならば <Ax, Ay> = <x, y>
となることを証明せよ
というものです。ちなみに "|| ||"は標準的なノルム < , >は標準内積です。
標準内積の定義式にまで戻って証明を試みました。
n
Σ fi を、Σ[i=1, n](fi) と以後表記します。
i=1
x, y のi行目の成分をそれぞれ xi, yi、
Aの(i, j)成分を aij とすれば、
<x, y> = Σ[i=1, n](xi * yi)
で内積は定義され、
Axのi行目の成分 = Σ[j=1, n](aij * xj)
Ayのi行目の成分 = Σ[j=1, n](aij * yj)
であるので、与えられた条件より
<Ax, Ax>
= Σ[i=1, n](Σ[j=1, n](aij * xj))^2
= <x, x>
= Σ[i=1, n](xi)^2
<Ay, Ay>
= Σ[i=1, n](Σ[j=1, n](aij * yj))^2
= <x, x>
= Σ[i=1, n](yi)^2
よって(?)
<Ax, Ay>
= Σ[i=1, n]{(Σ[j=1, n](aij * xj)) * (Σ[j=1, n](aij * yj))}
= ??
と行き詰ってしまいました。
シグマの中をうまく展開できないものでしょうか・・。
