【証明】この行列の逆行列は？

質問

i行目、j列目の要素が1/(i+j)である正方行列は正則であることを証明せよ。また逆行列のすべての要素が整数であることを証明せよ。

ためしに、n=1,2,3,4の場合のdeterminantを計算してみたのですが、それぞれ、1/2,1/72,1/43200,1/423360000と切りのいい答えになりました。規則性がありそうなので一般化できないかと悪戦苦闘してみたのですが手がかりがつかめません。よろしくお願いします。

回答No.1

tecchan22 · ベストアンサー

綺麗な問題ですね。

僕もまだ考え中ですが、一応逆行列の成分の予想は立ちました。

逆行列の i,j 成分は、
もとの行列のｉ行目とｊ列目のすべての分母をかけて（２ｎ－１個）、さらに nCi と nCj をかけ、{(n-1) ! }^2 で割ったものに、(-1)^( i + j ) をかけたものになると思われます。

つまり、{(-1)^(i+j)}(nCi)(nCj)(i+1)(i+2)・・(i+n)(j+1)(j+2)・・(j+n)/[(i+j){(n-1)!}^2]
です。

もっと整理できると思いますが・・。（コンビネーションなんかを使って・・）

しかし、これが逆行列になることは、まだ確認していません。証明は、めんどくさそうです。

整数になることは、少しだけめんどくそうなところがありますが、これはすぐ言えると思います。

兎に角、ｎ＝２，３，４で実験して予想しただけなので、あなたももっともっと頑張って計算してみては？

勿論、僕のやっている方向は面倒すぎる方向で、もっとうまい方法があるのかも知れませんが。

しかし、自分の出来ることを精一杯やるのみです。大学の課題ならば、尚更そうでしょう。

僕ももう時間がないので、また明後日以降、時間が出来たら考えます。
・対称行列なので、うまく使える対称行列に関する定理がないか？
・掃き出し法で、固有値を順に出すプログラム（漸化式）がつくれないか？（1/2,1/12,1/600,・・）
・あなたが出したもう一問が解ければ、前半はＯＫなので、前半はそちらに帰着させる。

などなど、種々やることは考えられると思います。
貧弱なアドバイスで申し訳ないが。

回答No.5

tecchan22

＞逆行列の成分は、★の行列式の逆数に余因子行列をかけて求めたのでしょうか？それともn=2, n=3, n=4の場合についてパターンを探したのでしょうか。僕もパターンを探そうとしたみたのですができませんでした。

ｎ＝２，３，４，５，６くらいやって、２～３時間？かけてパターンを見つけました。（ああ、大変やった）

見つけたパターンは合っていましたが、表現するときにミスりました。

後で★が分かってから、余因子を行列式で割って、合っていることを確認しました。

綺麗に予想した式が出てきたときは、感動しましたよ！

お礼

その感動分かります！！僕の場合、もう結果は分かっちゃっていましたが、それでも汚い計算の末に同じ式が出てきたときは感無量でした。別の方の問題を敢えて広義に解くことで、この問題への系になるところなど、解説を読んでいろいろと勉強させていただきました。

ほんとうにありがとうございました。

回答No.4

tecchan22

＞＃１

逆行列のｉｊ成分、ミスってました。
nCi,nCj をかけるのでなく n-1Ci-1,n-1Cj-1 をかけるの間違いでした。

お礼

いま出先なので今日帰ってからじっくり腰をすえて解法読ませていただきます。コメントなり質問なりはその後に。まずはお礼だけ、本当にありがとうございました。

補足

逆行列の成分は、★の行列式の逆数に余因子行列をかけて求めたのでしょうか？それともn=2, n=3, n=4の場合についてパターンを探したのでしょうか。僕もパターンを探そうとしたみたのですができませんでした。

回答No.3

tecchan22

もう一つの問題の系でしたね。
解答（方針のみ）はもう一つの問題の方に書きましたが、結局、行列式や小行列式、そして余因子行列を考えるんですね。

しかしこんなに綺麗にいくとは・・。

この問題だけを見ていても解答にたどり着くのは難しいが、もう一つの問題のように拡張して、見えてくるんですね。

掃き出しが有望・・・ではなかったですね。

回答No.2

tecchan22

＃１です。

訂正：固有値の二番目は 1/36 ですね。失礼しました。

やはり、掃き出し法で、上三角化をしていき、各対角成分が正になることを、帰納的に示すというのが、有望そうです。
（少なくとも正則のほうに限れば）

ｎ＝２，３，４あたりでやってみては？

それを一般化して、もう一つの問題の方も出来るのではと思います。