ｎ次正方行列Ａ＝（ａij)に対してＡ^tの（i,k)成分を書け。さらに

質問

ｎ次正方行列Ａ＝（ａij)に対してＡ^tの（i,k)成分を書け。さらにA^tAの(i,j）成分をΣ記号を用いて書け。
この問題は、
Ａ^tの（i,k)成分は(ａik)＿＿＿＿＿＿＿n
A^tAの(i,j）成分をΣ記号を用いて書くとΣ ａik でいいのでしょうか？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿k=1

また、Ａ^t×Ａ＝Bとおくとき、B^t＝Bが成り立つのはなぜでしょうか？
証明してくださるとありがたいです。

どなたか、回答お願いします。（＿は字数合わせです。）Ａ＾ｔとＢ＾ｔは転置行列です

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

>A^tの(i,k)成分を書け
A^tの(i,k)成分は、Aの(k,i)成分なので、a_kiである。
（ここで " _ki " というのは、添え字のkiがくっついているという意味である）

>A^tAの(i,j)成分をΣ記号を用いて書け
前問を利用する。一旦、A^tのij成分を(f_ij)と書くことにする。
すると、行列の積の定義より、
（A^tAの(i,j)成分）
= ?_(k=1)^(n) f_ik a_kj
= ?_(k=1)^(n) a_ki a_kj
である。

>A^t×A＝Bとおくとき、B^t＝Bが成り立つのはなぜでしょうか？
前問より、Bの(i,j)成分は ?_(k=1)^(n) a_ki a_kj。
一方、Bの(j,i)成分は ?_(k=1)^(n) a_kj a_ki = ?_(k=1)^(n) a_ki a_kj であり、よって(i,j)成分と同じ。
故に、Bの転置行列は元のBに等しい。

これくらい、教科書に書いていなかっただろうか？

お礼

詳しい解説ありがとうございました！

回答No.2

aquatarku5

A^tって、Aの転置行列のことですよね？
であれば、
・A^tの(i,k)成分=Aの(k,i)成分ですよね　→1つ目の答え

・(A^t)Aの(i,j)成分
　=(A^t)のi行目×Aのj列目=Σ{k=1～n}(a_ki*a_kj)　→2つ目の答え

・2番目に導いた結果を利用します。
　Bの(i,j)成分=Σ{k=1～n}(a_ki*a_kj)
　B^tの(i,j)成分=Bの(j,i)成分=Σ{k=1～n}(a_kj*a_ki)
　この両者が等しいので、成立する。　→3つ目の答え

お礼

解説ありがとうございました！