数検の問題です。

質問

1.g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1とします。このとき、g(x^12)をg(x)で割るときの余りを求めなさい。

色々試したのですが,商をＱ(x)=ax^4+bx^3+…+eと置いてやると、かなり複雑な計算になり答えがでませんでした。
2.次の極限を求めなさい。

lim[n→∞](logn)^(-1)・Σ[k=1→n]{{nCk・(-1)^(k+1)}/k}

コンビネーションをくずして計算すると、うまくいかず、他のアプローチの仕方を考えたのですがいいアイディアが浮かびません。

3.x,y,zを区間[0,1]より独立に選びます。このとき、x>=yzとなる確率を計算しなさい。

図を描いて重積分を使えば解けるかなあと思ったのですが、いまいちどうすればいいかわかりません。

何方かご教授願います。

回答No.4

ryn · ベストアンサー

> もしかして一般にnCkはn<kならこの値はゼロってこといえますでしょうか？
Σ計算において k=n だけ気をつければよいです．
わかりにくければ最初に k=n だけ分離して
　a[n] = Σ[k=1→n]{{nCk・(-1)^(k+1)}/k}
　= {nCn・(-1)^(n+1)}/n + Σ[k=1→n-1]{{nCk・(-1)^(k+1)}/k}
　= (第1項) + Σ[k=1→n-1]{{(n-1)C(k-1)・(-1)^(k+1)}/k} + Σ[k=1→n-1]{{(n-1)Ck・(-1)^(k+1)}/k}
としてください．

いま，第3項は a[n-1] となっているので第2項を見てみます．
要するに
　(n-1)C(k-1)/k
の変形が出来ればよいわけですが，
　(n-1)!/{(k-1)!(n-k)!}/k
　= (n-1)!/{k!(n-k)!}
　= (1/n)*n!/{k!(n-k)!}
　= {nCk}/n
のようにもっていきます．

改めて書き直すと
　a[n] = {nCn・(-1)^(n+1)}/n + (1/n)Σ[k=1→n-1]{nCk・(-1)^(k+1)} + a[n-1]
となり，1項目と2項目をくっつけると
　a[n] = (1/n)Σ[k=1→n]{nCk・(-1)^(k+1)} + a[n-1]
となります．
あとは，k=1からということに注意して2項定理を使ってください．

> 座標（y,z）のときは、yz≦x≦１だから、...
> f(x,y)＝yzですか？
0≦x≦yz でなく yz≦x≦1 なので
f(x,y) = 1-yz となります．
が，No.2 での回答はxの積分を終えた後の話なので
余計にわかりにくかったかもしれませんね．

0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1 の領域で
x≧yz を満たす体積を求めればよいのですが，
どの座標も等確率なので被積分関数は定数です．
　P = (条件を満たす体積)/(全体積)
なので，定数を1として
　分子：∫[0→1]∫[0→1]∫[yz→1]dxdydz
　分母：∫[0→1]∫[0→1]∫[0→1]dxdydz
ですね．
もちろん分母は積分など使う必要はないです．

お礼

再度レス有難うございます。m(_ _)m

３番は図的にも、数式的にもよくわかりしました。有難うございます。

２番なのですが、
a[n]=Σ[k=1→n]1/k
となり、

lim[n→∞]{(logn)^(-1)}・Σ[k=1→n]1/k

ですよね。
m=lognと置いていじくってみたりしても、
答えにはたどり着けませんでした。

恐らく、
　『∫[0→1]f(x)dx=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n]f(k/n)』
か、
　『はさみうちの定理』
を使って解くんだろうなって思いますが、
計算力が落ちてるようでどう運んでいっていいかイマイチピンときません。

回答No.6

ryn

> m=lognと置いていじくってみたりしても、
> 答えにはたどり着けませんでした。
私も本番では時間がないのでずるをしています．
証明の流れは知っていますが，
　Σ[k=1→n]1/k
が出た時点で，
　γ = lim[n→∞]{ Σ[k=1→n]1/k - log(n) }
を使いました．
ここで，γは
　γ = 0.577215665…
という値のオイラー定数と呼ばれるものです．

このあたりの話は解析の教科書に載っていると思いますが，
たとえば，参考URLの書籍だと 10.4 がまさに今回の話です．

参考URL：

http://www.springer-tokyo.co.jp/content/isbn4-431-70750-6.html

お礼

オイラー定数を使えば答えが『１』となり、あってますね。^^
一方、はさみうちの定理何とか使えないかなと考えた結果、以下のように纏められました。

log(n+1)<Σ[k=1→n]1/k<log(n)+1より

lim[n→∞]log(n+1)/log(n)<lim[n→∞]{(log(n))^(-1)}Σ[k=1→n]1/k<{log(n)+1}/log(n)

左辺は不定形だからロピタルの定理より
lim[n→∞]n/(n+1)＝lim[n→∞]1/(1+1/n)
一方、
右辺＝lim[n→∞](1+1/log(n))

故に、左辺と右辺は極限の値が１なので、
はさみうちの定理より中辺は『１』となりました。

回答No.5

oyaoya65

#3です。
A#3の3について訂正します。
＞∫[0→1]{∫[0→x](∫[0→1]dz)dy+∫[x→1](∫[0→x/y]zdz)dy}dx
は次のように訂正ください。
∫[0→1]{∫[0→x]dy+∫[x→1](x/y)dy}dx=3/4

＞∫[0→1]{∫[0→y](∫[0→x/y]zdz)dx+∫[y→1](∫[0→1]dz)dx}dy
は次のように訂正してください。∫[0→1]{∫[0→y](x/y)dx+∫[y→1]dx}dy=3/4

どちらの積分でも求まります。

また
∫[0→1]{∫[0→z](x/z)dx+∫[z→1]dx}dz=3/4
という積分でも求まりますね。

お礼

あ、そういうことだったのですね。
ありがとうございました、おかげで理解できました。

回答No.3

oyaoya65

#1です。

質問者の方は解決しない場合は
分かる範囲で解答を示して補足で質問ください。

1.について
＞商をＱ(x)=ax^4+bx^3+…+eと置いてやると、
商でなくて余り（剰余）ですね。
通常Q(x)は商、剰余はR(x)で表します。

追加ヒント
R(x)=ax^4+bx^3+…+eto
とおくと
g(x^12)=f(x)=Q(x)g(x)+R(x)

g(x)=0の根はxのx^6=の根のx=1を除いた5つの根になります。根の求め方は参考URLに掲載されています。
複素平面の第１象限と第２象限の複素根をそれぞれx1,x2とおくと、他の複素根はx1とx2の共役根となります。
他の1つの根は-1ですね。

f(-1)=g((-1)^6)=g(1)=6=R(-1)
f(x1)=g(x1^12)=g(1)=6=R(x1)
f(x2)=g(x2^12)=g(1)=6=R(x2)
をおいて係数の実数部、虚数部の係数を比較して連立方程式を立てR(x)の係数を決定してください。

なお、上の計算では以下の1の6乗根の性質を使います。
x1^(6n)=1
x2^(3n)=1
x1^(6n+3)=-1
(n=自然数)

x2=x1^2
x2^2=-x1
x2^4=x2
x1^4=-x1
x1^5=-x2

3.
ヒントです。
#2の方の積分での計算法の方法は
∬f(y,z)dydzでなくて
∫[0→1]{∫[0→x](∫[0→1]dz)dy+∫[x→1](∫[0→x/y]zdz)dy}dx
や
∫[0→1]{∫[0→y](∫[0→x/y]zdz)dx+∫[y→1](∫[0→1]dz)dx}dy
という積分などでできます。
この積分の意味を3次元の図形を描いて最初の何を固定しその時積分の範囲をどのように決めるかを図と上記の積分表現をよく比較してみてください。前者は最初にxを固定して積分をする方法で、後者は最初にyを固定して積分する方法になります。最初にzを固定する方法も可能ですがここでは省略します。いずれも同じ積分結果になることは言うまでもありません。
積分自体は簡単にでき7/12となります。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node33.html

お礼

再度レス有難うございます。m(_ _)m

１番の問題ですが、面白い解き方だと思うので、参考にさせて頂きます。
もう一人の回答者さんと違ったとき方なのでとても勉強になります。

３番の問題に関しては、答えは『3/4』となってました。何処がおかしいのかちょっと考えてみます。

回答No.2

ryn

ちょうど私が受けた回の問題でした．

1.
No.1 さんの式をもう少し進めて
　g(x)(x-1)(x^6+1) = x^12 - 1
とすると
　x^12 ≡ 1 (mod g(x) )
となるので，すぐに答えが出ます．

2.
a_n = Σ[k=1→n]{{nCk・(-1)^(k+1)}/k}
とおいて
　nCk = (n-1)C(k-1) + (n-1)Ck
を使えば漸化式が出てきます．

3.
> 図を描いて重積分を使えば解けるかなあと思ったのですが、
> いまいちどうすればいいかわかりません。
考え方はあっていると思います．
質問者さんが仰るように
　∬f(y,z)dydz
を計算するのですが，
とりあえず，yz平面を水平，x軸を高さ方向のように思うと
(y,z)=(0,0) では 0≦x≦1 が求める体積に含まれます．
(y,z)=(1/2,1/2) では 1/4≦x≦1 が含まれます．
では，座標(y,z)のときは？というように考えると
f(y,z)の形が見えてくるのではないでしょうか？

本番では時間内に解答するには
2.が一番大変だったように思います．
1次試験は7問/1時間なので計算力もいりますね．

お礼

大変わかりやすい回答ありがとうございます。
レス遅れたことをわびておきます。m(_ _)m

問題１については理解できましたが、
問題２、３はいまいちよくわかりません。

問題２に関しては、
a_n = Σ[k=1→n]{{nCk・(-1)^(k+1)}/k}
= Σ[k=1→n]{{(n-1)C(k-1)・(-1)^(k+1)}/k} +Σ[k=1→n]{{(n-1)Ck・(-1)^(k+1)}/k}
=Σ[k=1→n]{{(n-1)C(k-1)・(-1)^(k+1)}/k} +Σ[k=1→n-1]{{(n-1)Ck・(-1)^(k+1)}/k}+{(n-1)Cn・(-1)^(n+1)}/n}
=Σ[k=1→n]{{(n-1)Ck・(-1)^(k+1)}/k} +a_(n-1)

となったのですがここから先に勧めません...
もしかして一般にnCkはn<kならこの値はゼロってこといえますでしょうか？

問題３に関しては、

座標（y,z）のときは、yz≦x≦１だから、...
f(x,y)＝yzですか？

回答No.1

oyaoya65

質問者の内容の異なる問題を並べただけの丸投げの質問ですので多分削除対象になります。

１のヒントだけ
g(x)(x-1)=x^6-1=0
を満たす根はxの6乗根になることを利用する。

お礼

レス有難うございます。
確かに、問題を提示しているだけに見えなくもないですが、自分なりには考え方も示したつもりですし、客観的にそう判断するのは如何なものかと伺えます。

そのような立場の人もいらっしゃるとわかりましたので以後極力書くように勤めますけれど。