フーリエ展開について！

質問

f(x)={-π（-π＜ｘ＜０）、０（ｘ＝０）、π（０＜ｘ＜π）｝　周期２π
　　上記の式の時、フーリエ展開すると、
f(x)=４sinx-4/3sin3x+4/5sin5x-・・・・・　　
　　となったんですけど、あっていますか？間違いなら正しい解答を教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　f(x)=4 sin x + (4/3)sin(3x) + (4/5)sin(5x) +・・・・・．
が正しいです．
つまり，符号は全部プラスですね．
奇関数だから sin しか現れないのは当然として
sin(nx) の係数は
(2)　　(1/π)∫(-π～π) f(t) sin(nt) dt
　　　　= 2∫(0～π) sin(nt) dt
　　　　= (2/n) {cos(0) - cos(nπ)}
ですから，n が偶数の時は引き算がゼロ．
n が奇数なら引き算は常に２．
したがって，(1)になります．
一般項は，n=2m-1 として
(3)　　4 [sin(2m-1)x] / (2m-1)　　(m=1,2,3,...)
です．

お礼

ありがとうございました(^。^)