全波整流波のフーリエ級数

質問

全波整流のフーリエ級数展開を求める際

一周期を2πとして
f(x)=sin(x) [0≦x≦π]
f(x)=-sin(x) [π≦x≦2π]

と場合分けして計算しているのをよく見かけるのですが、

一周期をπとして
f(x)=sin(x) [0≦x≦π]

とするのは駄目なのでしょうか？
計算ミスなのかも知れませんが、一周期をπとして計算しても、2πの時とは一致しません。

教えてください。お願いします。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

[1]周期πの関数の（周期2πの）フーリエ級数
A[n] = (1/π) ∫[-π～π] f(x)cos(nx) dx (n=0,1,2,...)
B[n] = (1/π) ∫[-π～π] f(x)sin(nx) dx (n=1,2,...)
f(x)= A[0]/2 + Σ(A[n]cos(nx) + B[n]sin(nx)) （Σはn=1～∞の総和）
において，fが周期π，すなわちf(x)=f(x+π)である場合を考える．
　まず，nが奇数(n=2m+1)のとき，(場合分け．おっしゃるのとは違うけれど）
∫ [-π～0]f(x)cos((2m+1)x) dx +∫ [0～π]f(x)cos((2m+1)x) dx = 0
なのでA[2m+1]=0である．B[2m+1]=0も同様．
　従って，
A[2m] = (1/π) ∫[-π～π] f(x)cos(2mx) dx
B[2m] = (1/π) ∫[-π～π] f(x)sin(2mx) dx
f(x)= A[0]/2 + Σ(A[2m]cos(2mx) + B[2m]sin(2mx)) （Σはm=1～∞の総和）
　さらにf(x)=f(x+π)より
∫[-π～-π/2] f(x)cos(2mx) dx = ∫[0～π/2] f(x)cos(2mx) dx
∫[π/2～π] f(x)cos(2mx) dx = ∫[-π/2～0] f(x)cos(2mx) dx
であるから
A[2m] = (2/π) ∫[-π/2～π/2] f(x)cos(2mx) dx
同様にして
B[2m] = (2/π) ∫[-π/2～π/2] f(x)sin(2mx) dx

[2] 周期πのフーリエ級数
　周期πの関数f(x)は，周期2πの関数g(t)=f(t/2)だと思えばいいので，
g(t)=f(t/2) = A'[0]/2 + Σ(A'[k]cos(kt) + B'[k]sin(kt)) （Σはk=1～∞の総和）
A'[k] = (1/π) ∫[-π～π] f(t/2)cos(kt) dt
B'[k] = (1/π) ∫[-π～π] f(t/2)sin(kt) dt
変数変換 x=t/2 によって
f(x)=A'[0]/2 + Σ(A'[k]cos(2kx) + B'[k]sin(2kx)) （Σはk=1～∞の総和）
A'[k]=(2/π) ∫[-π/2～π/2] f(x)cos(2kx) dx
B'[k]=(2/π) ∫[-π/2～π/2] f(x)sin(2kx) dx
　ここでk=m, A'[m]=A[2m], B'[m]=B[2m]とすれば，[1]と一致．
　おっしゃる通り，こっちの方が簡単ですね．

●なおご質問の場合f(x)が偶関数なので，Bは全部0であって，しかも
A[2m]=(4/π) ∫[0～π/2] f(x)cos(2mx) dx
=(4/π) ∫[0～π/2] f(x)cos(2mx) dx
と書けます．

回答No.4

info22_

>一周期をπとして
>f(x)=sin(x) [0≦x≦π]
>とするのは駄目なのでしょうか？

問題ないです。

>計算ミスなのかも知れませんが、一周期をπとして計算しても、2πの時とは一致しません。

多分、計算ミスか、勘違いでしょう。どちらでも同じ展開式になり、一致します。

いずれも
　f(x)=(2/π)-(4/π)Σ[n=1,∞] cos(2nx)/(4n^2-1)
となります。

f(x)は偶関数となるので一周期がπ、2πの場合も、bn=0(n≧1)となる。

したがって
一周期2πの時のフーリエ級数は
f(x)=a0/2+Σ[n=1,∞] an*cos(nx)
a0=4/π
an=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx (n≧2)
=0(n:奇数)
=-(4/π)/(n^2 -1) (n:偶数)
奇数項は存在しないので、n=2m(m=1,2,…)とおくと
an=-(4/π)/(4m^2 -1)(=am'とおく)
f(x)=a0/2+Σ[m=1,∞] am'*cos(2mx)
=(2/π)-(4/π)Σ[m=1,∞] cos(2mx)/(4m^2 -1) …(★)

一周期πの時のフーリエ級数は
f(x)=a0/2+Σ[m=1,∞] am*cos(2nx)
a0=(4/π)∫[0,π/2] sin(x)dx=4/π
am=(4/π)∫[0,π/2] sin(x)cos(2mx)dx=-(4/π)/(4m^1-1) (m≧1)
となって(★)と一致します。

お礼

回答していただいてありがとうございます。
すいません。どうやら計算ミスだったみたいです。
ご迷惑おかけしました。
計算手順まで教えていただいてありがとうございました。

回答No.3

FT56F001

全波整流波形f(x)=|sin(x)|はπ周期ですから，一周期πで計算して答えは合います。
合わないとすれば，単なる計算ミスでしょう。

お礼

回答していただいてありがとうございます。
すいません。どうやら計算ミスだったみたいです。
ご迷惑おかけしました。

回答No.2

rnakamra

一致しますよ。

周期πの関数のフーリエ級数展開は

f(x)=Σ[n:0～∞]{an*cos(2nx)+bn*sin(2nx)}

と表せます。("2"を忘れないように)

an,bnがどのような式で書けるか考えるため、∫[0→π] cos(2nx)*f(x)fxや∫[0→π] sin(2nx)*f(x)fx an,bnを用いてどのように表されるか計算してみればよいでしょう。
通常のフーリエ級数に出てくる係数の場合と少し係数が異なることがわかるはずです。(積分範囲の幅の違いが効いてきます)

どうしてもわからない場合は補足にあなたが行った計算を書いてください。

お礼

回答していただいてありがとうございます。
すいません。どうやら計算ミスだったみたいです。
ご迷惑おかけしました。
a0を使わない表記を初めて見たのでためになりました。
ありがとうございます。

回答No.1

Cupper-2

一周期は２πで固定です。

これは弧度法による表記であることを示すものですので、一周期をπとすることは根本的に間違っています。

お礼

弧度法で考えるとたしかに一周で2πなので、T=2πで固定になりますね。
というか弧度法の周期なのに時間関数で積分って不思議ですね、、、
もうちょっと考えてみます。