∞×０なんて答えあったっけ？

質問

どうも。先ほど同じ質問をした方がいらっしゃったと思いますが、どうにも回答のほうが怪しいので改めて私のほうから質問させていただきます。
∞×０には答えはありますか?あるとしたらそれは∞ですか、0ですか?ないのならこれはどのように計算するのでしょうか。
私の記憶ではこれは不定形と言うもので単純には計算できないと思っていたのですが。基本的に∞と言う数は存在しないで、「無限に大きくしていく」と言う過程をlimで表現するのではなかったでしょうか。それともカントールが言うように∞を数える立場に立つと違うのでしょうか。この辺りにきちんとした知識をお持ちの方にご回答願います。

回答No.8

adinat · ベストアンサー

通常の実数論の立場から言うと、∞は実数ではありませんので、∞と実数の加減乗除は定義しないのが自然です。ですが、便宜上許しても問題のない演算もありますので、以下のものは認めてよいものとお考えください。

∞±a＝∞、－∞±a＝－∞、ただしaは実数
∞×a＝∞、－∞×a＝－∞、ただしaは正の実数
∞×b＝－∞、－∞×b＝∞、ただしbは負の実数
a÷∞＝0、a÷(－∞)＝0、ただしaは実数
∞＋∞＝∞、∞×∞＝∞、
(－∞)＋(－∞)＝－∞、(－∞)×(－∞)＝∞、
(－∞)×∞＝∞×(－∞)＝－∞

普通はこれ以外の危険な演算は定義しません。したがって∞×0は数としての演算とは通常は考えないことにしています。それは多くの方がご指摘されている通り、a_n→α、b_n→βと数列が実数α、βに収束する場合に成り立つ公式、

a_nb_n→αβ

において便宜的にたとえばa_n=1/n、b_n=nとでもすると、αβ=1でなくてはなりませんが、α=0、β=∞となっています。不定形と言っているのこの極限操作において、演算（この場合は掛け算）と極限を交換できない場合を指しています。このような例は∞÷∞、∞^0、∞－∞などでも生じます。したがって上でやってよい演算にはこれらは入れないことにするのです。

しかしながら、∞は実数と思うことはできないにせよ、上に示した演算なら許される仮想的な実数と思うことは出来なくもありません。そこで∞と－∞を通常の実数に加えた、拡張した実数というものを考えることはあります。実解析（ルベーグ積分論）と呼ばれる数学の一分野では、このように∞をあたかも数のように扱って理論に加えた方が便利なことがありますので、拡張した実数を考察することはあります。そこでは掛け算というものを定義している必要があるので、∞×0＝0と約束することがあります。これはこれで別に矛盾は生じないのです。なぜかといえば、上で極限と掛け算の交換ができるのは、数列a_n、b_nが実数に収束する場合だけであるからです。

僕が指摘しておきたいのは、∞×0＝0と約束することは一向に構わないが、たとえば(1/n)×nにおいてn→∞とすると、形式的に0×∞になりはするが、このようなことは各項が収束する場合しかしてはいけない（この場合はnは∞に"発散"する）ということです。つまり不定形極限の場合は形式的な演算（∞、0を含む加減乗除）はしてはいけない、ということです。このような立場にたつと、∞×0が何らかの数になっていると考えるのは、ある意味で危険なようにも思えます。そういう気持ちがあるときには、∞×0は定義しないという立場に立てばいいのです。けれどもしつこいようですが、∞×0=0と約束してもなんら困ったことは起きないし、実際、そういうように考える数学があるのだ、ということを指摘しておきたいと思います。

お礼

専門家の方からご意見いただきました。ありがとうございます。お話を聞く限り、原則としては不定形と言って定義されていないもので、こういった演算は存在しないようです。ただ演算結果を0と定義する数学の分野も存在しているようですね。正確な解答ありがとうございました。

回答No.15

kentarou2333

∞というのは実数ではなく、掛け算はできません。そのため、「未定義」ですという考えが無難ですよね。

ただ、∞というのは実数ではないのですが、「個数」というある種の数の集合には含まれますよね。

この個数というのは、「３人に飴玉を４つずつあげるのに飴玉はいくつ必要？」というように、「掛け算の学習過程に基づく定義」を形成しています。
そのため、一般には「個数×個数」から拡張して「実数×実数」の掛け算を学習することになります。

ところが、個数というのは、「整数の個数」というように、扱いにくい「∞」というものを含んでしまいます。
そのことから、「∞×０」という、「個数×個数」なんだから計算できるんじゃないの？という考えに行きつきます。

この概念を考えると、全部の整数に、飴玉を０個ずつ配ったら飴はいくつ必要？
という問題になるわけですよね。

この計算については、積分を使った考え方の方が直感的に理解できるのではないかと思います。
＃実体は、lim を使った考え方の表記を変えているだけかもしれませんけど。

一般に、
a * b = ∫[0～a] b dx　（定数 b を 0 から a で積分）
というようになります。

同じように、
∞×0 = ∫[0～∞] 0 dx
と考えると、明らかに０ですよね。

つまり、「無限小」でなく、「真の０」であれば、何をかけても結果は０と考えるのがよいと思います。
＃ルベーグ積分の定義っていうより、広義リーマン積分、又はルベーグ積分の結果ですね。

これであれば無限の濃度に関係なく答えは０と理解できると思います。

お礼

皆さんの解答をまとめさせていただくと、原則不定形と言って定義されない演算ではあるが、例えばルベーグ積分では答えは0と定義されるわけですね。ありがとうございます。0の考え方も、無限小か本当の0かで異なっているようです。質問したお陰で頭の中のもやもやがすっきりしました。もう少しこのままにしておきますので、補足したい方等いましたら是非お願いいたします。皆様ご協力ありがとうございます。

回答No.14

karrin

参考URLの中に書いてありますが
「∞には、0以外のどんな数(∞を含む)を掛けても∞になります。
但し、∞に0を掛けるのは無意味です。0=1/∞であり、よって∞×0=∞×(1/∞)=∞/∞という意味の無い式となるからです。
但し、ルベグ積分論では便宜上「∞×0=0×∞=0」と定義します。これはあくまでもルベグ積分論でのみ通用する定義です。
∞×a=∞ (但し、a≠0)
∞×0は無意味。」

参考URL：

http://www.marguerite-site.com/Nihongo/Math/Infinity.html

回答No.13

jmh

> それともカントールが言うように…
>
空集合と無限集合の直積は空じゃないかしら？

回答No.12

shkwta

No.1です。補足します。

lim[x→∞](1/x)　の値は、正真正銘、本当のジャスト０です。実数において、極限の定義ではそうなります。０でない何かではありません。

lim[x→∞]f(x)g(x) で、∞×0の不定形というのは、lim[x→∞]f(x)＝∞、lim[x→∞]g(x)＝0 という場合です。ここで、lim[x→∞]f(x)＝∞　という等式は、∞という値があるのではなく、無限大に発散することを便宜上表わすものです。

回答No.11

Martha

参考URLなどを読まれたらいいのですが，逆算をしたら
その式が意味があるか無いかがよくわかると思います。

参考URL：

http://www.uja.jp/contents/math/divbyzero.html

回答No.10

blackdragon

＃４です。

もう少し、考えたり調べたりしてみました。

ここでの回答でも答えは２つに分かれており
１）∞　×　0　＝　0
２）∞　×　0　は不定数（定義できず）
となります。

この違いの根源は、まさしく、ゼロの定義の違いから来るのでしょう・

１）の立場のゼロは、東洋的な、まさしく「無」であるところのゼロであり、無限小とは似て非なるもの

であるのに対して、

２）の立場のゼロは、数学的に
　１/∞　＝　0
　　という定義を受け入れて、無限小とゼロを同一視する

ということでしょう。

いくつかのサイトで、ゼノンのパラドックスが、無限小とゼロを同一視することから来ており、無限小とゼロを同一視するのは数学では認められたことだとしています。

このことから考えると、「数学的」には「無限小＝0」と定義する立場が優勢というところでしょうか。

個人的には、
lim[x→∞](1/x) = 0
の数式は、あくまでも、収束する方向を示しているだけであり、左辺と右辺が等値であるとは受け入れがたいのです。
東洋的な考え方？

調べている過程で見つけた本です。面白そうですね。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/415208524X

参考URL：

http://www2s.biglobe.ne.jp/~asanami/zenon2.html

回答No.9

ion12wat

私も∞×0は不定形だと思います。
その理由は，∞×0となる極限（次の３パターン）を考えてみれば明解だと思います。

∞×0=lim[x→0]{(1/x^2)・(-x)}=lim[x→0](-1/x)=-∞
∞×0=lim[x→0]{(1/x)・ax}=lim[x→0](a)=a
∞×0=lim[x→0](1/x^2)・x=lim[x→0](1/x)=∞
(ただし，aは実数)

つまり，∞×0は，-∞，∞にもなることもあるし，
ある実数aになることもある。
したがって，不定形。

回答No.7

momochu

＃5です。

訂正があります。

12行目
lim[x→∞]（x^2）
ではなく
lim[x→∞]（1/x^2）です。

回答No.6

ADEMU

私も最初、この質問の答えを見て疑問におもったのですが、
ここで問題になってくるのが１／∞＝０、１／０＝∞と定義していることだと思います。
前者は限りなく０に近いということになり、後者は禁じ手であるわけですから
たとえば
１／ｘ　×　ｘ　を計算する場合、０を代入していいものかどうか。

結論として、限りなく０に近いのと０とでは違うと考えれば答えは０で正解なのかもしれないということです。

回答No.5

momochu

＃3の回答に1票。
＃2の方はなぜ
＞０についても、「ゼロに収束するような関数」であるとします。
と仮定するのでしょうか？

＃1の方の
＞（例2）lim[x→∞]｛x・(1/x)｝＝1
　　　 lim[x→∞]｛x・(1/(x^2))}＝0
　　　 lim[x→∞]｛x^2・(1/x)}→∞

これらは∞×0の形

とありますが、

lim[x→∞]（1/x）
lim[x→∞]（x^2）

は0ではありません。限りなく0に近づくだけです。

＃2の回答と＃1の回答は同じ考えだと思います。

0をかける相手の数がどんな極限値であっても答えは0です。