0.9999・・・＝１を示したい・・・

質問

最近、無限級数を習いました。

ところで0.9999・・・＝lim(n→∞)∑[k=1;n]9/(10^k)のつぎを計算するとlim(n→∞)∑[k=1;n]9*(1/10)^kとなって結果１０になってしまいます。何が間違っているのでしょうか。

また、0.9999・・・＝１の示し方はたくさんありますが、上記の方法で回答して欲しいです。お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

∑[k=1;n]9*(1/10)^k = ∑[k=1;n](9/10)*(1/10)^(k-1)　　　｛初項9/10、公比1/10の等比級数の和｝
= (9/10)*{1-(1/10)^n}/{1-(1/10)}
=1-(1/10)^n

なので、
lim(n→∞)∑[k=1;n]9*(1/10)^k = lim(n→∞){1-(1/10)^n} = 1

となります。

お礼

この方法が一番しっくりきました。ありがとうございます！

回答No.3

zeta0208

Sn=∑[k=1;n]9*(1/10)^k=9×{1/10 + (1/10)^2 + … + (1/10)^n}と置くと

Sn=9×{1/10 + (1/10)^2 + … + (1/10)^n}
1/10×Sn=9×{ (1/10)^2 + … + (1/10)^n + (1/10)^(n+1)}
上式から下式の両辺をそれぞれ引き算すると
(1-1/10)×Sn=9×{(1/10) - (1/10)^(n+1)}
両辺を(1-1/10)すなわち9/10で割ると
Sn=9×{(1/10) - (1/10)^(n+1)}/(9/10)
となるからn→∞の時Snは
lim(n→∞)Sn=lim(n→∞){9×{(1/10) - (1/10)^(n+1)}/(9/10)}=1

公式に直接当てはめないで計算しても「1」になります。
途中の計算間違いだと思います。

お礼

この方法は思いつきませんでした・・。ありがとうございます！

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

k=0から計算してないですか？

お礼

よくかんがえてみたらそうでした。９×(１/10)^kじゃなくて9/10×(１/10)^k-1にすべきでした。ありがとうごいます！