次の極限値を求めよ。

質問

lim(x,y)→(0,0) x(y)^2/(x^2+y^4)

この答えが存在しないとなる過程がわかりません。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

正攻法でいきましょう．

f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4)

とおき，

x=rcos(t),y=rsin(t)

とする．

(x,y)→(0,0)⇔r→+0,t：任意

さて，

f(x,y)=ｆ(rcos(t),rsin(t))=r^3cos(t)sin^2(t)/r^2(cos^2(t)+r^2sin^4(t))=rcos(t)sin^2(t)/(cos^2(t)+r^2sin^4(t))
→rcos(t)sin^2(t)/cos^2(t)=rsin^2(t)/cos(t)=rtan(t)sin(t)

(x,y)→(0,0)の近づけ方を次の2通りにとる．

(1)t=π/4となる近づけ方をすると

f(x,y)→rtan(π/4)sin(π/4)=r/√2→0

(2)t=π/2-rとなるような近づけ方をすると

f(x,y)→rtan(π/2-r)sin(π/2-r)→{r/tan(r)}sin(π/2)=r/tan(r)=cos(r)/{sin(r)/r}→1/1=1

(1)，(2)の二通りの近づけ方で近づく値が異なるので極限は存在しない．

回答No.2

misumiss

(x, y) を放物線 x = ay^2 の上を動かしながら (0, 0) に近づけるとき, 極限値は a の値に無関係かどうか, 考えてみてください。

回答No.1

Tacosan

(0, 0) への近付け方によって値が違うんでしょ, きっと.