[数学] 無限大÷無限大の答えは？

質問

無限大割る無限大の答えは？

無限大は数ではないため、極限式などになるとは思うのですが、数学には疎いためとりあえず、この表現でご容赦下さい。
この答えは数学ではどの様になりますでしょうか？

こういった思考実験を考えてみたのですが、答えが見つかりません。
しかし、私がこの実験に参加した場合、実際には出会える、出会えないに収束すると思ったりもしています。何か矛盾を感じます。

先ず、地球のような限られた所ではなく、もっと別の場所を仮定。人間の寿命は永遠とする。
数学において何と言うのか分かりませんが、いわゆる思考実験をする場合に想定する理想状態とします。
■人間の数を無限大（実際にはどんどん新しい人が生まれている状態）＋1人（私自身）。趣味の種類を無限種類（日々新しい趣味が生まれている状態）とする。私が色々な人と合コンして、私と寸分違わぬほどに全く同じ趣味を持った人と巡り会う確率を求めよ。

宜しくお願い致します。

-閑話-
こちらの答えを考えていてこの質問を思いつきました。
もし、お時間がありましたら一緒に考えていただけると幸いです。
http://okwave.jp/qa/q6676980.html

回答No.4

noname#221368

連続無限まで持ち出さなくても行けるような気がしました。自然数（整数）全体の個数（と言ってはいけないんですが・・・）の事を可算無限といいます。人の数も趣味の数も、1，2，3，・・・と数えられるので（可算なので）、これらは可算無限になります。自分は確率が不得手なので、次は間違ってるかも知れません。

　無限種類の趣味の中から、ある人があなたと同じ趣味を選ぶ確率：１／∞。
　無限人の中から、あなたがその人を選ぶ確率：１／∞。

　上記二つが同時に起こる確率：１／∞　×　１／∞　＝　１／∞　＝０

　∞／∞にはなりませんでしたが、確率は０と思います。で「今現在なくても、将来あるのでは？」ですが、ビュッフォンの針に関連する問題を考えたとき、似た状況に遭遇しました。計算自体はあってましたが、その中に「線分から一点を選ぶ確率を計算する」という過程が含まれ、自分の結果をなかなか信じられませんでした。まさに、

　　確率０だが、選ぶ事は明らかにできる．

からです。そこで思ったのが、有限個数を相手にしたときと、無限個を相手にしたときの確率０は、違うんだなという事です。

　　有限個数の確率０：本当に、そのようなケースがない．
　　無限個数の確率０：本当にそのようなケースがないか、まぐれ当たりが限りなく０に近い．

と思ったのですが、ＯＫなんでしょうか？。

　∞／∞を割り算と見た場合、数学では定義されていません。ただしケースに応じて計算できる例は、理屈の上ではごまんとあります。以下、limと書いたら、ｎ→∞が省略されてると読んで下さい。

　lim　(ｎ＋1)／ｎ　＝　1　　　　(1)
　lim　(2ｎ＋100)／ｎ　＝　２　　(2)
　lim　(ｎ^2＋100)／ｎ　＝　∞　　(3)
　lim　ｎ／2^n　＝　０　　　　　　(4)

　(1)～(4)のｎ→∞のｎは、正の整数で考えてます。つまりこの無限大は可算無限です。そうすると(1)と(2)は、整数の個数どうしを比較してるように見えます。本当は、こんな事言ったら駄目なんですが、何となく納得できませんか？。
　(3)は、数直線と座標平面上にある、整数点の数の比較のようなもので、面は線が無限に集まったものだからと考えると、何となく納得できますが、この納得は駄目なんです。［数直線の整数の数］＝［座標平面上の整数格子点の数］が、証明できてしまうからです(^^)；。(3)自体の計算は正しいのですが・・・。
　(4)は、整数の数と実数の数（可算無限と連続無限）の比較と考えて良い理由が、一応あります。正式には駄目なんですが、(4)をそのような意味とすると、連続無限は可算無限をカスにするくらい巨大な無限、という事になります。・・・じつはこれ、正しいんです(^^)；。「限りないもの」として定義される無限ですが、「限りないものにも階層がある」という、とんでもない結果です(^^)；。可算無限＜連続無限を示す最も簡単な証明法が、対角線論法になります。

　以上より∞／∞には、色々問題があるようだとは、思って頂けませんか？。割り算∞／∞が定義されないのは、計算できないからではなく、計算できるケースがごまんとあり、しかも結果が一つでないからです。それが不定の意味ですし、通常の解釈が成り立たない場合すら出てきます。引き算も同様です。

　ちなみに∞＋∞と∞×∞は定義されます。ただし、

　　有限＋可算無限＝可算無限．
　　可算無限＋可算無限＝可算無限．
　　有限×可算無限＝可算無限．
　　可算無限×可算無限＝可算無限．

　　可算無限＋連続無限＝連続無限．
　　連続無限＋連続無限＝連続無限．
　　可算無限×連続無限＝連続無限．
　　連続無限×連続無限＝連続無限．

といった具合に、有限の計算とは違います。でも答えは一つに決まります。

　これらの事（∞＋∞と∞×∞）を、「限りないものを、いくら足しても掛けても、限りないに決まってるさ！」と、自分は時々言ってしまいます。これらは普通の解釈にあってますよね？(^^)。

回答No.3

quift

no.2です。

>>仮に今は存在しなくても、将来それが存在する確率はあるように思うのです
ダーツを投げる時、的の面積が半分になると当たる確率は半分になりますね。
寸分たがわず一致するということは、点に命中する、つまり
的の面積が０の場合を考えていることになります。
故に確率は０です。
これから無限回ダーツを投げるのだから
確率０でも
０×無限で0.1やら0.3になったりしないのか、と直感的に思えそうですが
なりません。
「回数」の無限よりも
「ダーツの板の面積÷点の面積（つまり０）」の無限のほうが大きいのです。
これは、解析学でいうところの高位の無限大（n→∞のときのn^2対nなど）どころではなく、
2^nとnの差に匹敵するのです。
分かりやすくするためダーツの板を１次元の、長さ１(座標は0から1まで)の線分としましょう。
１回目は0.238...
２回目は0.975...
３回目は0.781...
に命中したとします。
無限回投げれば全ての点を埋め尽くせるでしょうか？
無理です。
１回目の小数第１位は２
２回目の小数第２位は７
３回目の小数第３位は１
ですが、これらに例えば１を加えた数（９の場合は０）を連ねてできる小数、
つまり0.382...
は１回目と異なる（小数第一位が不一致）し、
２回目とも異なる（小数第二位が不一致）し、
以下どこまでいってもこの系列には登場しないのです。
一対一対応が作れないということは、０から１までの実数は自然数よりもずっと多いのです。
y=tan(x)[xは0からpi/2]のグラフを見れば
有限の連続体（０からpi/2までの数直線）から
無限の連続体（値域、つまり０以上の全ての実数）への一対一対応は可能と分かるでしょうが、
自然数のような離散体から連続体へは、どうしたってこのような対応付けはできないのです。

でも、確率が０なら起こり得ないかというと、そうではないのです。
起こりうる「同様に確からしい事象」の数が無限の場合、
ある事象が起きる確率は１/(全事象の数)
だから０になってしまうのです。
離散の場合だと、任意の自然数を選ぶ時、それが「10」である確率は０です。
でも「10」を選ぶことは可能です。
連続の場合も、物理世界に関連付けると無意味な議論になりますが
任意の実数を選ぶ時、それがroot(2)に一致する確率は０ですが
選ぶことは可能です。

回答No.2

quift

寸分たがわぬ、ということは連続体の中の一点に一致するということですね。
確率は０です。
人間は１人、２人、と数えられる無限ですが
０以上１以下の数は全ての自然数の数よりも多いのです。
対角線論法で検索すると説明が書かれています。

ただ、確率が０だからといって起こり得ないとは言えません。
例えば０から１０までのランダムな値をとる変数があったとし、
これが１から２までに来る確率は、というと1/10ですが
ピッタリ３に一致する確率は、というと０です。
でも、「３に一致する」という事象は現にあり得ます

しかし、実際にはこの世界も連続体ではないかもしれません。
物質に原子と言う最小単位があるように、
時間や長さも離散的、つまりデジタルかも知れないと言われています。
そうなると、自然数との間に一対一対応が付けれてしまうので
自分と全く同じ個体が存在する確率は１となります

お礼

回答いただきありがとうございます！！

拙い説明ですが、そこから数学の理論が出てきて安心致しました。
連続体、離散的、対角線論法、初めて聞く言葉ばかりですが、とても分かり易く説明して頂きありがとうございます。何となくですが理解できたような気がします。

対角線論法について調べて見ました。Wikipediaでは正直全く理解できず個人のHP　http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/explanation.htmとなっていますが、何となく分かった様な気がしました。
ただ、私の例では、常に新しく人が生まれている状態（上記URLで言えば、常に実数が生成されている状態）ですので必ずしもこれが当てはまるかどうかと思っています。
仮に今は存在しなくても、将来それが存在する確率はあるように思うのです。

流石に、数学の証明されていることに反論するのは気が引けるのですが、どうしてもこの辺りが納得できません。
また、実際に我々が存在するわけですので離散的にも思えますが、量子やマクロの世界を見ると連続体かもしれないなどよく分からなくなってしまいます。

また、
＞０以上１以下の数は全ての自然数の数よりも多いのです。
そうなのでしょうか？無限を考える時、
自然数は、1，2，3・・・と無限に続きます。数は無限に存在すると思います。

最大の疑問ですが、
＞ただ、確率が０だからといって起こり得ないとは言えません。
天気予報の0％が厳密には0ではないのは分かるのですが、
数学の0％は絶対に起こらないという意味ではないのでしょうか？
正直、この矛盾が理解できません。
これは、離散・連続が公理で決まってると言う意味でしょうか？

回答No.1

Tacosan

数学的には不定.

お礼

回答いただきありがとうございます！
数学ではどの様に証明されていますでしょうか？
また、もし、ご存じでしたら分かり易く説明orお勧めのHP等ありましたら教えていただけると幸いです。
実は、ググっては見たのですが、1／0や0／1はあるのですが、無限/無限でこれという答えが見つからず探しております。