極限の問題がわかりません

質問

途中過程も教えてくれるとありがたいです。

無限級数1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n+…について次の問いに答えよ。

(1)初項から第n項までの部分和Snをnの式で表せ
(2)この無限級数の和を求めよ。ただし、lim(n→∞)n/2^n=0である

回答よろしくお願いします。

回答No.1

info222_

1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n+…

(1)初項から第n項までの部分和Snをnの式で表せ

Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n …(A)
(1/2)Sn=1/2^2+2/2^3+3/2^4+4/2^5+…+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) …(B)
(A)-(B)より
(1/2)Sn=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+…+1/2^n-n/2^(n+1)
=(1/2)(1-(1/2)^n)/(1-(1/2)) -n/2^(n+1)
=1-(1/2)^n -n/2^(n+1)
=1-1/2^n -n/2^(n+1)
=1-[(2+n)/2^(n+1)] …（答）

(2)この無限級数の和を求めよ。
ただし、lim(n→∞)n/2^n=0である

S=lim(n→∞)Sn=lim(n→∞) {1-[(2+n)/2^(n+1)] }
=lim(n→∞) {1-1/2^(n+1)-[(1+n)/2^(n+1)] }
=lim(n→∞) {1-1/2^(n+1)} - lim(n→∞)[(1+n)/2^(n+1)]

lim(n→∞)n/2^n=0であるからlim(n→∞)[(1+n)/2^(n+1)] =0なので

S= 1 -0 -0 = 1 …(答)