ロピタルの定理の問題が分かりません。(2)

質問

またロピタルの定理でつまずいてしまいました。

ロピタルの定理を用いて、次の不定形の極限値を求めよ。
(1)lim(x->+0)x/(x^x)-1
(2)lim(x->0)[{(1+x)^1/x}-e]/x

という問題です。答えはそれぞれ、
(1)0 (2)-e/2
となるそうですが、計算過程がわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(解き方)ロピタルの定理を繰り返し使用する。
以下の計算がなぜそうなるかの
途中の計算は自分で考えて見て下さい。

(1)lim(x->+0)x/{(x^x)-1}
=lim(x->+0) 1/{(x^x)(log(x)+1)}
=lim(x->+0) 1/(log(x)+1)
=0

(2)lim(x->0)[{(1+x)^(1/x)}-e]/x
=lim(x->0)[{(1+x)^(1/x)}{1/(x(1+x))-(log(1+x))/(x^2)}]/1
=e*lim(x->0){x/(1+x)-(log(1+x))}/(x^2)
=e*lim(x->0){x-(1+x)log(1+x)}/{(x^2)(1+x)}
=e*lim(x->0){-log(1+x)}/(2x+3x^2)
=e*lim(x->0){-1/(1+x)}/(2+6x)
=e*(-1/2)

回答No.1

arrysthmia

ただ、ロピタルの定理を適用するだけです。
分子分母を微分するときに、合成関数の微分
(f ^g) ' = { ∂(f ^g)/∂f }・f ' + { ∂(f ^g)/∂g }・g '
を使えば終わりじゃないですかね。