∞×０なんて答えあったっけ？

質問

どうも。先ほど同じ質問をした方がいらっしゃったと思いますが、どうにも回答のほうが怪しいので改めて私のほうから質問させていただきます。
∞×０には答えはありますか?あるとしたらそれは∞ですか、0ですか?ないのならこれはどのように計算するのでしょうか。
私の記憶ではこれは不定形と言うもので単純には計算できないと思っていたのですが。基本的に∞と言う数は存在しないで、「無限に大きくしていく」と言う過程をlimで表現するのではなかったでしょうか。それともカントールが言うように∞を数える立場に立つと違うのでしょうか。この辺りにきちんとした知識をお持ちの方にご回答願います。

回答No.8

adinat · ベストアンサー

通常の実数論の立場から言うと、∞は実数ではありませんので、∞と実数の加減乗除は定義しないのが自然です。ですが、便宜上許しても問題のない演算もありますので、以下のものは認めてよいものとお考えください。

∞±a＝∞、－∞±a＝－∞、ただしaは実数
∞×a＝∞、－∞×a＝－∞、ただしaは正の実数
∞×b＝－∞、－∞×b＝∞、ただしbは負の実数
a÷∞＝0、a÷(－∞)＝0、ただしaは実数
∞＋∞＝∞、∞×∞＝∞、
(－∞)＋(－∞)＝－∞、(－∞)×(－∞)＝∞、
(－∞)×∞＝∞×(－∞)＝－∞

普通はこれ以外の危険な演算は定義しません。したがって∞×0は数としての演算とは通常は考えないことにしています。それは多くの方がご指摘されている通り、a_n→α、b_n→βと数列が実数α、βに収束する場合に成り立つ公式、

a_nb_n→αβ

において便宜的にたとえばa_n=1/n、b_n=nとでもすると、αβ=1でなくてはなりませんが、α=0、β=∞となっています。不定形と言っているのこの極限操作において、演算（この場合は掛け算）と極限を交換できない場合を指しています。このような例は∞÷∞、∞^0、∞－∞などでも生じます。したがって上でやってよい演算にはこれらは入れないことにするのです。

しかしながら、∞は実数と思うことはできないにせよ、上に示した演算なら許される仮想的な実数と思うことは出来なくもありません。そこで∞と－∞を通常の実数に加えた、拡張した実数というものを考えることはあります。実解析（ルベーグ積分論）と呼ばれる数学の一分野では、このように∞をあたかも数のように扱って理論に加えた方が便利なことがありますので、拡張した実数を考察することはあります。そこでは掛け算というものを定義している必要があるので、∞×0＝0と約束することがあります。これはこれで別に矛盾は生じないのです。なぜかといえば、上で極限と掛け算の交換ができるのは、数列a_n、b_nが実数に収束する場合だけであるからです。

僕が指摘しておきたいのは、∞×0＝0と約束することは一向に構わないが、たとえば(1/n)×nにおいてn→∞とすると、形式的に0×∞になりはするが、このようなことは各項が収束する場合しかしてはいけない（この場合はnは∞に"発散"する）ということです。つまり不定形極限の場合は形式的な演算（∞、0を含む加減乗除）はしてはいけない、ということです。このような立場にたつと、∞×0が何らかの数になっていると考えるのは、ある意味で危険なようにも思えます。そういう気持ちがあるときには、∞×0は定義しないという立場に立てばいいのです。けれどもしつこいようですが、∞×0=0と約束してもなんら困ったことは起きないし、実際、そういうように考える数学があるのだ、ということを指摘しておきたいと思います。

お礼

専門家の方からご意見いただきました。ありがとうございます。お話を聞く限り、原則としては不定形と言って定義されていないもので、こういった演算は存在しないようです。ただ演算結果を0と定義する数学の分野も存在しているようですね。正確な解答ありがとうございました。

回答No.4

blackdragon

無限大　×　無限小
であれば、それぞれの強さによって、
無限大、有限数、無限小
などとなるでしょうが、
ゼロと無限小は違って、ゼロはゼロで、どれだけ大きな値をかけてもゼロになるのでは？
（おそらく、質問者さんや、ゼロとはいえないとおっしゃっている回答者の方々は、ゼロと無限小を混同されていませんか？）

回答No.3

Sbacteria

∞Ｘ０という問題の定義（特に∞は数値では無い）によるのでしょうが、ここでは、
f(x) X ０という　関数　かける　定数０　という演算として考えると、f(x)がどんな挙動をとったとしても０になるような気がします。０に近づくのではなくて、０なのですから、演算対象の数値が決まった時に０になるのではないでしょうか？

回答No.2

funifuni11

たしかに、先ほどの同じ質問の答えでは2件とも0とおっしゃていますが、こう決め付けるのは間違いです。

　（補足：厳密には、無限大∞は数値ではないので、
　掛け算をしようとすること自体が間違いです。
　ですがここでは、∞を「無限大に発散するような関数」
　であると解釈して話を進めます。
　同様に、０についても、「ゼロに収束するような関数」
　であるとします。）

∞×0は、このままでは答えは存在しません。
無限大の方が強ければ、∞×0=∞になることもあり、
ゼロの方が強ければ、　∞×0=0になることもあります。
二つの力が均衡していれば、ある一定の値に落ち着きます。

少し形を変えて書いてみます。
0=1/∞ですから、∞×0 = ∞/∞ということになります。
この場合には、分母の∞と分子の∞のどちらが強いかということで、値が決定されるわけです。
分母が強ければ全体としては0に収束、
分子が強ければ全体としては∞に発散、
均衡していればある特定の値を持つ
ということです。

さて、この時、「強さ」って何だ、と思われるでしょう。
これは、どれだけ速く無限に向かって発散していくかということを表しています。

例を出して見てみましょう。
(1)y=xと(2)y=x^2のグラフを考えてみれば明らかなように、
xを大きくしていけば(2)の方が速く無限大に向かって発散していきます。
この時、
lim(x→∞) x/(x^2) =0　となりますし、
lim(x→∞) (x^2)/x =∞ となります。

また、
(1)x (2) 2x　の二つを考えたとすれば、
この二つは力が均衡しているので、
lim(x→∞) x/(2x) =1/2
lim(x→∞) (2x)/x = 2となります。

よく出てくる関数の力の強さを並べてみると、次のようになります。
log x < x < x^2 < x^3 <…< x^n < 2^x < 3^x <… < n^x < x! < x^x

さて、これでいかがでしょうか。

回答No.1

shkwta

∞×0形の極限は、式を見て判断します。

（例1）lim[x→∞](0・x)＝0
これは、0に何をかけても0という性質からわかります。

（例2）lim[x→∞]｛x・(1/x)｝＝1
　　　 lim[x→∞]｛x・(1/(x^2))}＝0
　　　 lim[x→∞]｛x^2・(1/x)}→∞

これらは∞×0の形であり、それぞれの式に応じた計算方法で極限値を求めます。
----------------------------------
∞は数ではありませんし、単なる計算式としての　∞×0　の値は定義されません。

ただし、「どんな正の数よりも大きい数Ａ」とか「0より大きく、どんな正の数より小さい数Ｂ」といったものを定義して数の集合に加えて考える数学理論があると聞いたことがあります。
そういうものは、詳しい人が回答してくれると思います。