臨界点でHessianが０の時の極値の判定

質問

微分可能な実多変数関数の臨界点（全ての1回導関数が０になる点）でHessianが０でないときはHesse行列の固有値によってこの点が極値かどうかの判定ができることはよく知られていますが、Hessianが０になるときの判定法を書いてある本は少ないようです。私が考えた結果、次の結論に至りました。
(1)Hesse行列の0以外の固有値に符号が異なるものがあるときはこの点は極値ではない。なぜならば固有値が正の固有ベクトルの方向に関しては極小点となっており、固有値が負の固有ベクトルの方向に関しては極大点となっているから。
(2)Hesse行列の0以外の固有値がすべて同符号で固有値０の空間が1次元であるときは、固有値０の固有ベクトルの方向に関して極値になっているかを調べれば良い。これは1変数関数の極値の判定に帰着するので容易。
(3)Hesse行列の固有値０の独立な固有ベクトルが2個以上のときは、各固有ベクトルの方向に関して調べてもこの点が極値であるかどうかの判定はできない。
そこで、やっと質問ですが、(3)の場合は極値の判定はどの様にしたら良いのでしょうか。

回答No.3

yumisamisiidesu

「『Hessianは2次の微分形式そのものになる』とはどう言う意味ですか。」については、すみません、取り消します.

「『Hesse行列の固有ベクトルと方向微分の関係がどうなっているのか調べ』てどうするのですか。」
もし、Hesse行列の固有ベクトルと臨界点におけるある方向の方向微分が1:1対応していれば、Hesse行列の0以外の固有値が同符号で固有値0に対する固有空間が二次元以上の場合については、対応する方向微分の方向と同じ向きのベクトルを接空間に乗るようにしながら、臨界点を中心に回転させ、全ての回転角度に対して、ベクトルと関数の像の上下が常に同じかどうかを調べることをイメージしていました.

お礼

ご回答ありがとうございます。これは簡単な問題ではありません。
　泉屋周一、石川剛郎：応用特異点論（共立出版）
を読んで頂きたいと思います。

回答No.2

yumisamisiidesu

知識が乏しい状態で回答して非常に恐縮ですがお許し下さい.まず、Hessianを利用して極値を判定する場合、適用できる関数は2階微分可能か、2階偏微分可能であればよいのかが疑問に思いました.
　ところで、まず、Hesse行列,Hessianの数学的な意味を理解する必要があると思います.私にはよく分りませんがHessianは2次の微分形式そのものになると思います.あるいは2次の微分形式と密接な関係にあるものになると思います.そして、Hesse行列の固有ベクトルと方向微分の関係がどうなっているのか調べる必要があると思いました.

お礼

ご回答ありがとうございます。f を関数とするとき、df∧dfもd^2 f も０になりますが、「Hessianは2次の微分形式そのものになる」とはどう言う意味ですか。Hesse行列の固有ベクトルの方向の方向微分を調べても極値かどうか判定できないと言うことは私は質問文中の(3)で書いたつもりですが、「Hesse行列の固有ベクトルと方向微分の関係がどうなっているのか調べ」てどうするのですか。

回答No.1

adinat

稚拙な回答で恐縮ですが、近傍の値を実際に調べてみるのが一番ではないですか？f(x,y)-f(0,0)の符号を調べるという感じで。極値判定は抽象的な場合について知りたいというよりは、具体的に関数が与えられた場合について考察したいことがほとんどのように思います。あるいは同じことですが、任意方向の方向微分を計算してみるのはいかがですか。1変数の極値判定に帰着できるのであれば、より高解の微分によって判定条件が与えられそうな気がしなくもないですが、面倒そうに思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。モース理論では臨界点でHessianが0でない場合を考えます。しかしHessianが退化している場合は考える必要がないのではなく、トムは残余特異点の次元が４以下のとき、７つの初等カタストロフィーに分類しています。また、アーノルドは同値類がパラメータに依存して変わるようなものをモダリティーを導入して分類しています。これは以下のサイトにあるように応用上も必要なことと思います。
　http://www.st-andrews.ac.uk/~ulf/catastrophe.html
このような方向の回答を期待したいと思います。