楕円体の主軸とヘッセ行列の固有ベクトルの関係

質問

論文内で楕円体を表す陰関数のヘッセ行列の固有ベクトルが、その楕円体の主軸と一致するという記述があったのですが、その導出が分かりません。
さらにそのヘッセ行列の固有値の平方根の逆数が各主軸の長さを表すともあったのですが、なぜそうなるのでしょうか。

自分は線形代数にはあまり明るくないのですが、このような分野に詳しい本があればあわせて教えていただけると幸いです。

回答No.1

info222_

>楕円体を表す陰関数のヘッセ行列の固有ベクトルが、その楕円体の主軸と一致するという記述があったのですが、その導出が分かりません。

三次元空間中のスカラー場の微分値が最も急な方向，二番目に急な方向，最も緩やかな方向を求めるとそれが楕円体の３つの軸になることから導出できる。
ご自分で計算して導出して見てください。

>ヘッセ行列の固有値の平方根の逆数が各主軸の長さを表すともあったのですが、なぜそうなるのでしょうか。

楕円体と直線の交点を求め,その交点の座標に、固有値と固有ベクトルの関係式を代入すれば導出できる。
ご自分で計算して導出して見てください。

>このような分野に詳しい本があれば教えていただけると幸いです。

導出過程の計算が地道な計算で長くなり、複雑なたくさんの式の入力が困難なので、式の入力や書き下しが面倒くさく（困難なので）、導出過程は地道な計算が長くなって、式そのものが単純計算が続くので、殆どの関連文献や専門書では省略されているようです。
専門書になるので知りません。論文の参考論文から検索して調べてみたらどうでしょうか？
導出計算は、上述のやり方でご自身で計算して見られたらどうでしょうか？