大至急！2変数の極値の問題で助けてください！

質問

2変数の極値を求めるとき、
B^2-AC=0のとき判定不能が出た場合
極大値、極小値をもたない事を証明する方法を教えてください！
どうなった時が極大値、極小値を持たなくなるのか分かりやすくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(x,y)≠(0,0)の時z_x(x,y)≠0又はz_y(x,y)≠0
z(0,0)=0
z_x(0,0)=0
z_y(0,0)=0
A=z_xx(0,0)
B=z_xy(0,0)
C=z_yy(0,0)
B^2=AC
の時
任意のε>0に対して
0<x^2+y^2<ε
0<u^2+v^2<ε
z(x,y)<0
z(u,v)>0
となるx,y,u,vがあれば
z(x,y)は極値を持たない

例)
z(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)
の時

z_x
=(-2x)(y-2x^2)+(y-x^2)(-4x)
=8x^3-6xy
=2x(4x^2-3y)

z_y
=y-2x^2+y-x^2
=2y-3x^2

z_x=z_y=0となるのは(x,y)=(0,0)の時だけだから
(x,y)≠(0,0)の時zは極値とならない

A=z_xx=24x^2-6y
B=z_xy=-6x
C=z_yy=2

B^2-AC={36x^2-2(24x^2-6y)}(0,0)=0

任意のε>0に対して

x=min(ε,1)/2
y=(3x^2)/2
とすると
0<x≦ε/2
0<x≦1/2<1
0<x^2≦x/2≦ε/4
y^2=9x^4/4≦9x^2/16≦9ε/64
0<x^2+y^2≦25ε/64<ε
z(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)=(3x^2/2-x^2)(3x^2/2-2x^2)=(x^2/2)(-x^2/2)=-3x^4/4<0

u=min(ε,1)/2
v=0とすると
0<u^2≦u/2≦ε/4
0<u^2+v^2≦ε/4<ε
z(u,v)=(v-u^2)(v-2u^2)=(-u^2)(-2u^2)=2u^4>0
だから
z(0,0)=0は極値とならない
z(x,y)は極値を持たない