eのある積分が解けません

質問

こんにちは．

∫(0，∞) { exp[-(x-y+w)]*(1/A)*exp[-w/A]} dw

がなかなか解けなくて困っています．
部分積分を適用したりしていますが，いまだ解けません．

解は，1/（1+A）*exp[-x+y] となるようです．

よろしくお願いいたします．

回答No.2

debut · ベストアンサー

No1です。補足というか訂正。下から２行目の与式=・・という部分で、1/AexpのAとexpの間と∫の前に＊が抜けていました。

　与式=1/A＊exp[-(x-y)]＊∫(0,∞)exp[-(1+1/A)w]dw

=1/A＊exp[-(x-y)]＊《1/-(1+1/A)＊exp[-(1+1/A)》(0,∞)
　　　　※《》(0,∞)は積分後の四角括弧と積分範囲です
　　　=1/A＊exp[-(x-y)]＊[-A/(A+1)]＊(0-1)
　　　　※1/-(1+1/A)=-A/(A+1)と変形

　　　=1/A＊exp[-(x-y)]＊[A/(A+1)]

　　　=1/(A+1)＊exp(-x+y)

考え方としては、指数法則でexpを１つにまとめることをめざしてみたのですが。

お礼

早々に回答してくださってありがとうございました．また補足もご丁寧にありがとうございました．
簡単化と変形の妙味，とっても感心しました．

とても分かりやすかったです．

回答No.3

info22

#1さんの方法で質問者さんの解が出てきます。
ただし、A＜-1または A＞0であること。
上記以外のAに対しては積分値が発散してしまいます。

お礼

大事なことを指摘していただいてとても感謝いたします．Aは正の期待値でしたので，発散せずに済みそうです．勉強になりました．ありがとうございました．

回答No.1

debut

exp[-(x-y+w)]をexp[-(x-y)]*exp(-w)として

exp(-w)*exp[-w/A]はexp[-w-w/a]=exp[-(1+1/A)w]とできるので、

与式＝1/Aexp[-(x-y)]∫(0,∞)exp[-(1+1/A)w]dw

として普通の積分で計算できませんかね。