広義積分教えてください

質問

次の問題説いてください

(1)
空間上の(x,y,z)を極座標（ｒ,θ,φ)
x=rsinθcosφ , y=sinθsinφ , z=rcosθ
に変換するときヤコビアンを求めよ
(2)
広義積分
I(a)=∫∫∫(exp-(x^2+y^2+z^2))/((x^2+y^2+z^2)^a) dxdydz
積分範囲はすべて－∞～＋∞
についてa=1/2の時のI(1/2)を求めよ
(3)
I(a)が収束するaの範囲を求めよ
(4)
広義積分
J(a,b)=∫∫∫1/((x^2+y^2+z^2)^a)*(|log(x^2+y^2+z^2)|^b) dxdydz
が収束するようなa,bの満たすべき条件を求めよ
積分範囲B

B={(x,y,z);x^2+y^2+z^2<1/4}

(1)のヤコビアンは
行列式
∂(x,y,z)/∂(u,v,w)

を解いて（r^2）sinθ

というところまではとけるのですがその後がわかりません
よろしくお願いします

回答No.3

rnakamra

#1のものです。
間違っていました。
>問題にある被積分関数は全てθ,φを含まない関数となるので、
>∫dθ=π、∫dφ=2π、としてよい。
ヤコビアンがsinθを含んでいます。
∫[0→π]sinθdθ=2が正しいです。

回答No.2

info22

(1)
>∂(x,y,z)/∂(u,v,w)
∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)
です。

>を解いて（r^2）sinθ
OKです。

(2)
I(1/2)=∫[0,2π]dφ∫[0,π]sinθdθ∫[0,∞]rexp(-r^2)dr
=2π*2*(1/2)
=2π

(3)
a<3/2

(4)
パス。

回答No.1

rnakamra

ヒント
空間上の(x,y,z)を極座標（ｒ,θ,φ)
x=rsinθcosφ , y=sinθsinφ , z=rcosθ
の時、
r=(x^2+y~2+z~2)^(1/2)
dxdydz={∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)}drdθdφ
となる。
積分範囲が全空間となると
r:0→∞,θ:0→π,φ:0→2π
となる。
問題にある被積分関数は全てθ,φを含まない関数となるので、
∫dθ=π、∫dφ=2π、としてよい。

後はrの積分だけです。