ガウス積分に似た式なのですが．．．

質問

ガウス積分に似た式なのですが．．．

∫[0→∞](x^2)*exp(－(x^4)－(x^2))dx

ガウス積分を含んでいるのですが，exp()の()中が多項式になっており，部分積分が出来そうもありません．

どなたか解ける方がいらっしゃったらお教えください．

回答No.5

inara1 · ベストアンサー

Mathematica で計算できるかどうかはここ（http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28x%5E2*exp%28-x%5E2-x%5E4%29%2Cx%3D0..infinity%29）で確かめられますね。空欄の被積分関数を変えれば他の関数も試すことができます。

お礼

いろいろな吟味ありがとうございます．

すごい！Mathematicaにそんなサイトがあったんですね．confluent hypergeometric function (合流型超幾何関数)をMathematicaは数値計算をしてくれたのでしょうか．
おっしゃるとおり他の計算も試しにやってみたら出てきました．というよりわらわらいろんなやつが出てきました(例えばhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28x%5E2*exp%28-1%2F2x%5E2-x%5E4%29%2Cx%3D0..infinity%29)．exp()の中が少し違うだけででてくる関数の中身が全然変わってきますね．おもしろいのでしばらく遊んでみます．

とても参考になります！ありがとうございました！！

回答No.6

inara1

＞おもしろいのでしばらく遊んでみます
面白いですね。Maple でも同じ結果が出ましたが、どうやってこの計算をしているのか不思議です。
ちなみに、その欄に int(x^2*exp(-1/2x^2-x^4),x) と書いて = をクリックするか、キーボードの Enter を押すと、不定積分を求めることになりますが、残念ながら結果は「標準的な数学関数の範囲では結果が見つからなかった」というメッセージが出ます。その下のグラフは 積分範囲が 0 から x までの定積分の値を x に対してプロットしたものです。

お礼

新年あけましておめでとうございます．

不定積分ですか．懐かしい響きです．0から∞の積分だとexp()の中が収束してスッキリした値が出そうですが，不定積分だとスッキリしなさそうですね．でもグラフを示してくれているなら，与えた式の数値解が近似的に線形であるか非線形であるかがわかりそうですので何かの役に立つかもしれません．

どうやって計算をしているのか確かに不思議です．計算していって，ある数式表現があらかじめインプットされている特殊関数と一致したときに変換し，その数値解を代入していって解いていく仕組みなんですかね．それともグラフが出るってことは真面目に数値を代入していってプロットしているのでしょうか．いずれにしても不思議です．

回答ありがとうございました．

回答No.4

inara1

ANo.1 と ANo.3 の BesselI (n,x) というのは第1種の修正ベッセル関数というもので、Excel の BESSELI(x,n) というエンジニアリング関数（アドインしないと使えない）ですが、 Excel では n が正の整数のときだけしか計算できません。

n が正負の少数のときの近似式はちょっと見つかりません（定積分で定義する式はありますが、積分しないといけないのでは意味ないですね）。exp の中が偶数次の場合も計算しなければならないとすると、これは数値積分で計算するしかないのではないでしょうか。Mathematica と Maple は同じような数式処理ソフトですが、数値積分もできるので定積分の値は出せるはずです。Mathematicaがあるけど使いこなせる人がいないとのことでしたら、Mathematica による数値積分の方法（コマンドの書き方）を新規に質問してはいかがでしょうか。

回答No.3

inara1

参考になるかどうか分かりませんが、exp の中が一般に
　　　a*x^4 + b*x^2 + c　（ a < 0 かつ b < 0 ）
のときの定積分は添付図のようになりました。奇数次の項が入っていると答えは出ません。
a～は a と同じです（～という記号は属性が定義されているという意味）。

お礼

2度のご返答ありがとうございます．

ベッセル関数についてちょっと調べてみたのですが，数式の解法に使用する超関数の一種なんですね．これを使用して計算すれば出来るかなぁ．

実は似た形でexp()の係数がx^2でない数式や，expの中が上記でない(でも偶数次です)数式も解かなくてはならないのですが，同じように数式処理ソフト(うちではMathematicaがあるようですが使いこなせる人がいないです)を勉強してやってみます．

参考になりました．ありがとうございました！

回答No.2

Ae610

∫[0→∞](x^2)*exp(－(x^4)－(x^2))dx
特殊関数を使わせてもらう・・・！

x^2 = t とおくと　2xdx = dt
与式 = 1/2・∫[0→∞]t^(1/2)・exp(-t^2-t)dt
ここで
∫[0→∞]t^(1/2)・exp(-t^2-t)dt
=∫[0→∞]t^(3/2 -1)・exp(-t^2 - t)dt・・・(*)

積分公式表を調べてみた。
そうすると
(*) = 2^(-3/4)Γ(3/2)e^(1/8)D[-3/2](1/√2)
= 2^(-3/4)・(√π)/2・e^(1/8)D[-3/2](1/√2)
・・・と表せるようである。
ここでD[p](x)は放物柱関数である。

従って
∫[0→∞](x^2)*exp(－(x^4)－(x^2))dx
=√π/4・2^(-3/4)・e^(1/8)・D[-3/2](1/√2)

お礼

返事遅くなりましてすいません．お返事ありがとうございます！

放物柱関数は合流型超幾何関数に入るみたいですね．私は数学の分野でないので，こういった特殊関数の使い方の紹介をしてもらえると助かります．

勉強してみます．ありがとうございました！

回答No.1

inara1

数式処理ソフト（Maple）では、ご質問の定積分はベッセル関数を使って表されるようです。

お礼

回答ありがとうございます．

参考にしてみます！