積分

質問

dv/dx = -v(2πaRG)^1/2

π,a,G,Rを定数として

これを解くと x=0, v=v_0より

v = v_0 exp(-(2πaRG)^1/2 ・ｘ)

となると書いてありました。

なぜ積分してexpの形に答えがなるのかちんぷんかんぷんです。

ご教授お願い申し上げます。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>dv/dx = -v(2πaRG)^(1/2)
両辺に vdxをかけると変数分離ができる
dv/v = {-(2πaRG)^(1/2)}dx
両辺を積分して
ln|v|={-(2πaRG)^(1/2)}x +c1　...(◆)
|v|=c2*exp{-x(2πaRG)^(1/2)} ...(●)
ここで c2=exp(c1)とおく。
　v=±c2*exp{-x(2πaRG)^(1/2)}
x=0でv=v_0なので
　v=±c2=v_0
∴v=v_0*exp{-x(2πaRG)^(1/2)}

>なぜ積分してexpの形に答えがなるのかちんぷんかんぷんです。
上の(◆)から(●)に移る過程で
自然対数ln(A)=Bの定義から真数はA=exp(B)の関係で表わせます。
この関係を使ってlog|v|からからvをexp(・)の形の
関数で表されるのです。

お礼

解答だけでなくこちらの質問にもどうしてそうなるのかの一連の解説までしてくださり本当にありがとうございます。今教えていただいたことをノートに書いています。
今後ともご教授の程、よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

spring135

dv/dx = -v(2πaRG)^1/2

dv/v=-(2πaRG)^1/2・dx

logv=c-(2πaRG)^1/2・x

v=c'e^(-(2πaRG)^1/2・x）

x=0, v=v_0よりC'=v_0

よって

v = v_0 exp(-(2πaRG)^1/2 ・ｘ)

お礼

一つ一つの式の過程までご親切に解説下さり誠にありがとうございます。