可算であることの証明

質問

可算についてなのですが、次の２つがどうしても証明出来ません。

１．可算集合の無限部分集合は可算である
２．有理数ａ，ｂを端点とする開区間（ａ，ｂ）全体の集合は可算である

一応濃度、可算集合については一通り勉強したのですが…。
言っている事はなんとなくわかるのですが、自分でいざ問題を解いてみる（証明してみる）と何をどう書いてよいのやらまったくのお手上げです。
きちんと理解できていないのが原因だと思うのですが、いろいろな本を読み漁ってもこの”集合論”という分野、いまいちピンときません。
どうか回答のほどよろしくお願いします。

回答No.4

shkwta · ベストアンサー

No.1です。
補足の２．ですが：

＞なぜ和をとるのでしょう？
要するに、何かのルール（何でもいい）を決めて、集合の要素の全部を一列に並べて番号を付けることができることを示せば、可算であることが証明できます。
和をとるのはその方法の一つということで、他の方法でも可能ならかまわないのです（和をとるのがいちばん簡単だと思いますが）。

＞開区間全体として可算となりえるのでしょうか
２つの有理数a,b(a<b)の組に、有理数を端点とする開区間が１対１に対応しているということであって、開区間の中身は関係ありません。

お礼

shkwtaさんの回答を見て、自分でももう一度考えてみました。「なるほど、そういうことだったのかと」納得です。

いや、奥が深いというか、なんというか…。イメージしづらくてなかなか本だけでは分かりづらかったのですが、とても参考になりました。

丁寧な回答、ありがとうございました。

回答No.3

pyon1956

２．について。
このような集合の要素はaとbの値によって一意に決まりますから、結局
有理数の無限部分集合×有理数の無限部分集合（×は直積）という集合になります。（１．による）
可算集合×可算集合の濃度は加算ですから（ということの説明が#1さんの２．の説明です）求める集合も可算です。

なお#2さんは（a,b)の要素と(a,b)を要素とする集合を誤解してらっしゃるので、
連続濃度だとおっしゃっているのですね。

お礼

丁寧な回答、とても参考になりました。pyon1956の回答を参考にしつつ、改めて自分でお考えてみました。一応証明できました（？）
私の理解力が足りないせいもありますが、本はなかなかシンプルに書かれていてちょっと数学の苦手な私にはつらいものがありまして…。pyon1956さんの説明ように書かれているものはないかと自分の能力を棚上げにして思ってしまいます。
ありがとうございました。

回答No.2

umutarou

1,可算集合は最小の濃度の無限集合であることから明らか。

2,命題が間違っているのでは？可算ではなく連続の濃度です。

お礼

１．について、ずばりと指摘していただきあほな質問をしてしまったと気付きました…。
回答ありがとうございました。

回答No.1

shkwta

可算を示すには、その集合と自然数の集合が１対１に対応することを証明します。
１．親の可算集合で、要素に自然数の番号をつけておきます。部分集合のほうでは、親でつけた番号の小さい順に番号を付けます。
２．すべての有理数に自然数の番号を付けておきます。有理数のa,b(a<b)の組（a,b)について、aの番号とbの番号の和の小さいもの、和が同じならaの番号の小さいものから順に並べて番号を付けます。

補足

補足というか、回答を読んで…

１．そうですよね。これ以上答えようのない、すごいアホな質問をしてしまいました。
「無限部分集合をつくる」という”無限”に変に引っかかっていたのですが、１日ドップリはやっていたもので頭がトリップしていました…。
（証明の書き方に多少不安はありますが何とかできました）

２．すいません。全然分かってないみたいです。まず、なぜ和をとるのでしょう？
それと、あくまで端点が有理数であって、その間に含まれるのは有理数だけとは限りませんよね…？？（もしかしてこの解釈からして間違っているのでしょうか？）となると、開区間全体として可算となりえるのでしょうか？？

本当に勉強が足りなくて申し訳ないのですが出来たら回答お願いします。