集合の濃度の問題です

質問

有理数a,b(a＜b)を端点とする開区間(a,b)全体の集合の濃度はNo（アレフゼロ）であることを証明せよという問題です。
わたしには全くわかりません。１から詳しくお願いします

回答No.3

Mokuzo100nenn · ベストアンサー

全ての有理数は自然数を分子、分母とした分数の形式であらわすことができます。

大きさが無限の碁盤の目を想像してください。
縦方向に分子ｘを割り当て、横方向に分母Yを割り当てると、無限に大きな碁盤であれば、全の有理数が割り当てられることが分かります。
つぎに、自然数Nをもってきて、碁盤の目を斜めに割り当てます。図を書くのが面倒なので言葉で説明すると、

（１，１）＝１
（２，１）＝２
（２，２）＝３
（３，１）＝４
（３．２）＝５
（３，３）＝６
（４，１）＝７
　・・
　・・
　・
と割り当てて行けば、すべての升目に自然数Nを一対一で対応させることができます。
したがって、有理数全体の濃度は、自然数全体の濃度と同じ、つまりアレフ０であることが分かります。

開区間（a,b)は有理数全体の部分集合です。したがって、有理数全体の濃度よりも大きな濃度をもつことは有りません。
この部分集合が有限集合でないことが証明できれば、この部分集合もアレフ０であることが証明できます。

開区間（a,b)の任意の点Zを取ります。
いかなるZに対しても、（a+Z)/2の点が存在します。
したがって、開区間（a,b)は有限集合では無いことが証明されました。

以上により、開区間(a,b)全体の集合は無限集合であり、その濃度は可算濃度アレフ０であることが証明されました。

数学的表現方法を知らない大工が考えた説明だから、数学の授業の課題だとすると駄目かもしれねえが、意味は理解出るんじゃあんめいか？

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

一部加筆:
S から N へは、例えば、
a, b を座標値とする点 [a,b] が
座標平面上第 k 象限にあるとして、

回答No.4

alice_44

内容からいって、子供の質問ではないから、
「１から」の部分は自分でやらなきゃね。
小手先の技について、ちょっと協力してみようか。

要するに、
その区間の集合を S、自然数全体の集合を N として、
S から N への単射と、N から S への単射が
どちらも存在することを示せばいい。
各ひとつづつ挙げて見せれば済む。

N から S へは、例えば、n → (n,n+1) がある。

S から N へは、例えば、
(a,b) が第 k 象限にあるとして、
a, b の絶対値の既約分数表示をそれぞれ p/q, u/v と置き、
(a,b) → (2のk乗)(3のp乗)(5のq乗)(7のu乗)(11のv乗)
などでよい。

回答No.2

noname#152422

有理数全体の集合をQとしたとき、Q×Q（直積）からの写像を考えてみてください。

回答No.1

eclipse2maven

１　からということで、
まず、書店にいって本を探すことです

大学の演習なのか知りませんが、自分でときましょう。