無限集合に関する証明
無限集合が存在しないことを証明しました。
以下の証明が合っているかどうか知りたいです。よろしくお願いします。
<定義>
集合の系列、A1,A2,・・・An・・・について、以下の条件が成り立っているとき、そのときに限り、この系列を、無限拡大系列と呼ぶことにします。
1:任意のnについて、An⊆An+1
<証明>
無限拡大系列が存在すると仮定します。任意の無限拡大系列をI1,I2,・・・In・・・とします。I1,I2,・・・In・・・の和集合をI∞とします。あるnについて、I∞=Inと仮定します。まず、無限拡大系列の定義より、In⊆In+1となるIn+1が存在します。よって、I∞⊆In+1。しかし、I∞の定義より、In＋1⊂I∞。よって、矛盾が生じました。よって、全てのnに対して、、I∞≠In。そして、I∞の定義より、全てのnに対して、In⊂I∞。よって、全てのnに対して、In⊆I∞。これより、I∞を全体集合としたときの、I1,I2,・・・In・・・の補集合をそれぞれ、I1',I2',・・・In'・・・とすれば、全てのnに対して、In'は空集合ではありません。そして、無限拡大系列の定義から、I1'⊇I2'⊇・・・⊇In'・・・となることが分かります。よって、I1',I2',・・・In'・・・の共通部分は空集合ではありません。よって、I1',I2',・・・In'・・・の共通部分の補集合、つまり、I∞が、全体集合であるI∞と等しくなりません。よって、矛盾が生じました。よって、無限拡大系列は存在しないとなります。そして、無限集合が存在すれば、無限拡大系列は存在することになってしまいます。よって、無限集合は存在しないとなります。
