有理数集合の濃度は非可算？！

質問

有理数集合の濃度は非可算？！

有理数集合Qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところQ（の部分集合）が非可算無限集合になってしまいました。
どこが誤りかご教授願います。

正の有理数は素数のベキを用いて
2^α×3^β×…（α,β,…∈Z）
で一意的に表される。
素数の個数は可算無限個なので
Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。
このときZも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。
よってQ+は非可算無限集合である。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

あんまり詳しくないので間違っているかもしれませんが…。

> Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。

Zの可算無限個の直積の要素のうちα = β = … = 1に対応するものは、
Q+の何と対応するのでしょうか？
また、Zの可算無限個の直積の要素のうちα = β = … = 2に対応するものは、
Q+の何と対応するのでしょうか？

この事を考えると、一対一対応してない気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに、直積の要素のうち0でないものが有限個でなければ有理数にはならないですね。
解決しました。

回答No.2

kabaokaba

No.1さんと同じですが

>Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。

これが間違えです．
「Zの可算無限個の直積」ではありません．
「Zの可算無限個の直積」の元mを
(m_i)_{i\in N}としたとき
このようなmのうち
ある自然数Nが存在して，i>Nならばm_i=0となる
ようなものを集めれば
それはQ+と同型になるのでしょう．

具体的に「全単射」を構築してみようとすれば
気がついたと思います．

お礼

α,β,…のうち無限個が0でないようにとると、有理数の範囲から外れてしまうということですね。
分かりました。
ご回答ありがとうございます。