濃度の厳密な定義はもはや不可能なのですか?
識者の皆様宜しくお願い致します。
最近,集合位相入門(松坂和夫)を購入し拝読しておりますがこの本のp65にて
『濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろう』
という記述がありますが,これは正確に解釈すると
『濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろうが万一ダメだったとしても当方は一切責任持ちません』
と見て取れ,何とも歯切れの悪い定義だなぁと感じました。
結局,濃度(という同値類)はφと有限集合{1,2,…,n}と可算集合N(=:アレフ_0)とアレフ_0の非可算集合Rとアレフ_1の非可算集合2^R,アレフ_3の非可算集合3^R,…
と可算個に類別できるのだと思います。
濃度の厳密な定義を知りたいのですがこの
"実は集合全体の集ま…ことは当然認めてもよいだろう"
の箇所の曖昧さをすっきり解消させるにはどう記述すればいいのでしょうか?
公理的集合論の書籍でさえも濃度の定義の際に「集合全体の集まりを類別する」という表現をさり気なく記述せずに類別によって濃度の定義をしているようです。
濃度を厳密に定義する場合,どういう手順で類別を定義すればいいのでしょうか?
また,
歯切れのいい濃度の定義をしてある書籍やサイトがあれば是非ご紹介下さい。
お礼
ありがとうございました！難しかったですが、ヒントになりました！