集合の濃度

質問

すみません
以下の2題を教えて頂ければ嬉しいです。
ネットの海を彷徨ってみたのですが
よくわからなくて…

1. Aを無限集合、Bを要素の数が2以上の有限集合とするとき、AからBへの写像
全体の集合Map(A, B)の濃度は真に大きいことを示せ。

2. 開区間(-1, 1)の可算個の直積(-1, 1)×(-1, 1)×…は(-1,1)と
濃度が等しい。このことを証明しろ。

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

無限集合Xの濃度を
　card(X)
で表します。

1.
無限集合Aから、有限集合B（要素数2）への写像全体の集合Map(A,B)は、無限集合Aのべき集合2^Aと一対一に対応します。ところで、一般に、無限集合Xとそのべき集合2^Xについて、
　card(X) < card(2^X)
が成り立ちます。したがって、
　card(A)| < card(Map(A,B))
が成り立ちます。

2.
開区間I=(-1,1)は、実数全体の集合Rと一対一に対応します。また、(-1,1)^nは、n次元空間の点全体の集合R^nと一対一に対応します。ところで、一般に、
　card(R^n)=card(R)
が成り立ちます。したがって、
　crad(I) = crad((-1,1)^n)
が成り立ちます。

参考URL：

http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/sysI/2001/card/node1.html,http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/m01.html

お礼

ありがとうございます！
非常に参考になりました。

回答No.3

jmh

２．
ｙ ＝ ｘ/２＋１/２ で、(－１，１) と (０，１) を同一視。
Ｉ ＝ (０，１)、Ｊ ＝ Ｉ×Ｉ×…（可算"無限"個）とする。
φ: Ｊ → Ｉ を
ｘ＝（０．ａｂｄｇｋ…，
　　　０．ｃｅｈｌ…，
　　　０．ｆｉｍ…，
　　　０．ｊｎ…，…）に対し、
φ(ｘ) ＝ ０．ａｂｃｄｅｆｇｈｉｊ…
とするとφは（おそらく）単射。
従って、Card(I) ≧ Card(J)。

お礼

ありがとうございます！

悩みつづけてた問題がようやく理解できましたm(__)m

回答No.2

jmh

１．
Card(Ａ) ≦ Card(ｍａｐ(Ａ，Ｂ)) は容易（たぶん）。
Card(Ａ) ≠ Card(ｍａｐ(Ａ，Ｂ)) を示す。
背理法。
Ｂ＝Ｚ/nＺとしてもよい（ｎ＞１）。
φ: Ａ → ｍａｐ(Ａ，Ｂ)は双射と仮定する。
ｆ: Ａ → Ｂを次のように定める: ｆ(ａ) ＝ (φ(ａ))(ａ)＋１。
このｆは、どの ａ∈Ａ の φ(ａ) とも一致しない。
これはφの仮定に矛盾する。