常用対数

質問

こんばんわ！私は高校２年生です。
今回は常用対数で本当にかなり考えたのですが
解けない問題があったのでお力を借りたく質問しました。
このような問題です。
log10　２＝0.3010　log10　３＝0.4771とする時
２の41乗の最高位の数字を求めよ。
という問題です。答えは２なのですが解き方が
まったく分かりません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

keydaimon · ベストアンサー

横から失礼します。

表記法ですが今からlog(10)2=0.3010,10^3（10の3乗）=1000のように書きます。あらかじめご容赦ください。

さて、いきなり分解したものを書きますが、与えられたlogの値から、
10^0.3010=2
10^0.4771=3
となりますよね。これは対数の定義がわかれば大丈夫だと思います。

そこで、X=2^41とすると、

log(10)X=41*log(10)2=12.3410

つまり、

10^12*10^0.3410

となります。この10^0.3410がミソです。10^12は、結局1の後に0が12個続いた数です。それに、10^0.3410をかけたわけですから、最高位の数字は、この10^0.3410が深く（というか殆ど）関係しているのです。10^0.3010=2で、10^0.4771=3ですから、直感的にも、10^0.3410という数は、その間にあるから、2.xxxという数になるというのは大丈夫ですよね？

orlandoさんも調べられたように（テストなどでは常用対数表は使ってはだめですが(^^;）、細かい値は2.19です。さっきの2.xxxという直感が正しいことを、常用対数表は証明してくれていますね！

それで、あとは、簡単です。
例えば、1000*5.19=5190,10000*7.468=74680となりますよね？これと同じ理屈で、1000000000000*2.19=2190000000000となります。(-^^)b

お礼

なるほど！！分かりましたっ(*^o^*)
細かく分かりやすい説明ありがとうございます！
何問も同じ感じの問題を解いて自分の身にしていきたいです。
ありがとうございました

回答No.5

pyon1956

追伸。12.3010<12.3410<12.4771より、
10^12.3010<2^41<10^12.4771
こういうことがいえるのは、数2の教科書にあるように底が10のように1より大きければ指数関数は単調増加関数だからです。念のため。

お礼

大変詳しく説明していただきありがとうございました！
指数関数は私にとってとてもてこずるものなんですが
頑張って自分の身にたたきこんで頑張りたいと思います！
本当にありがとうございました！

回答No.4

pyon1956

さらに横から失礼します。
＞２．１９でした。
＞これが最高位の数を表しているのですか？
つまり
2^41≒2.19*10^12なので、2*10^12<2^41<3*10^41となり、（2.19は2と3の間の数です）最高位の数は２、ということになります。（次の２桁が19）

ただこの問題の趣旨は、
log(10)2^41=41log(10)2=12.3410
ここで12.3010<12.3410<12.4771より、
10^12.3010<2^41<10^12.4771

10^12.3010=10^12*10^0.3010=2*10^12,
同様に10^12.4771=3*10^12なので2*10^12<2^41<3*10^41となり、最高位の数は２、ということになります。

回答No.2

eatern27

Ｎを自然数とすると、

logNの整数部分の数値からＮの桁数が分かる、というのは知っていますか？

もし、知っているのなら、logNの少数部分から何がわかるのかを考えてみてください。

Ｎの最高位の数値がiで、桁数がjだとしたら、
i*10^(j-1)≦Ｎ＜(i+1)*10^(j-1)
常用対数を考えると、
(j-1)+logi≦logN＜(j-1)+log(i+1)
となりますよね。

お礼

わかりましたっ☆.。.：*・°
分かり易く丁寧にありがとうございます！！
今日テストだったのですが
これ関係の問題が解けました！！
本当にありがとうございました！

補足

計算してみたところ１２．３４１になりました。
すると桁数は１３桁ですよね。
で０．３４１の部分を常用対数表でみたところ２．１９でした。
これが最高位の数を表しているのですか？

回答No.1

rinkun

常用対数の整数部分は十進表示の桁数に、小数部分は十進表示の最上位数字に関係します。
どう関係するかはもう一度自分で考えて見た方が良いでしょう。
10、20、30などの常用対数が幾つになるか考えてみると見えてくるのではないかと思います。

お礼

ヒントをありがとうございます！！
指数関数は法則が沢山あったりして
よく忘れてしまったり応用が利かなくなってしますのですが、
そこはもっと練習しないとです汗)
課題が見えてきました！！本当にありがとうございました！

補足

常用対数の整数部分は十進表示の桁数を表すのは知っていたのですが小数部分は十進表示の最上位数字に関係しているとこまでは知りませんでした。
１０は１ですよね？２０は２×１０で１．３０１０で
３０は３×１０で１．４７７１ということですか？