常用対数

質問

(ア)3つの数 2^1/2 , 3^1/3 , 5^1/5 を比べよ。
比べた結果（わかりました）
5^1/5 < 2^1/2 < 3^1/3 となりました。
(イ)2^x=3^y=5^z(ただし、x、y、zは正の実数)のときの3つの式2x、3y、5zを比べよ。
という問題です。
解答
2^x=3^y=5^z
(2^1/2)^2x=(3^1/3)^3y=(5^1/5)^5z
各辺常用対数をとって
2xlog10 2^1/2 = 3ylog10 3^1/3 = 5zlog10 5^1/5
ここまではわかりました。
底10＞１と(ア)より
log10 5^1/5　＜　log10 2^1/2 ＜ log10 3^1/3 より
3y＜2x＜5z

となっています。

底10＞１と(ア)より
log10 5^1/5　＜　log10 2^1/2 ＜ log10 3^1/3 より
3y＜2x＜5z
この部分がよくわかりません。すいませんが詳しく解説をお願いします。

回答No.1

asakusa-denen · ベストアンサー

log10 10=1, log10 100=log10 10^2=2・・・
というように底が１より大きい場合、底の後にある数(何ていうか忘れましたが)の大きさがその大小になります。ということは、
底10＞１と(ア)より
log10 5^1/5　＜　log10 2^1/2 ＜ log10 3^1/3・・(1)
といえるわけです。
一方で、
2xlog10 2^1/2 = 3ylog10 3^1/3 = 5zlog10 5^1/5・・(2)
という式が成り立っていますよね。
(1)と(2)を比較すると、2x,3y,5zの部分だけが違うので、この大小が(2)に影響していることになります。
そうすると、3y＜2x＜5zとなることがわかるのですが、どうですか？
もう少しわかりやすくすると、
例えば、2xlog10 2^1/2 = 3ylog10 3^1/3と
log10 2^1/2 ＜ log10 3^1/3がある場合、
2xと3yのどちらが大きいかを考えると、
x,yが正の実数なので、
2x＞3yでないと成り立たないわけですよ。
同様に他の組み合わせを考えてみていただけたらと思うのですが。
もしわからなければまた書き込んでください。

お礼

ありがとうございます。
他が同じならば、影響するところだけを考えていけばよかったのですね！例えば以降の部分大変参考になりました。

底の後にある数⇒真数です。