自然対数をとる？とは・・・

質問

y=x^x　両辺の自然対数をとると　logy=xlogx
これはどういうことなのかさっぱりです。

ログについては、たとえばlog(小さい2）8　なら2を何乗かしたら8になります　ってことは2を3乗すると8だから　log（低？が2）8の答えは３だ！
　ということなどは分かるのですが、一番上の式の意味と自然対数をとるという意味が分かりません。
「自然対数」とか「常用対数」とか言葉はしっているのですが、内容がいまいち分からなくて・・・
お願いします!!!

回答No.3

debut · ベストアンサー

２^3＝８　→　log(2)８＝３　
左の等式において、両辺にlog(2)をつけてみると
　　log(2)２^3＝log(2)８
　　３log(2)２＝log(2)８
　　　　　３＝log(2)８　　と最初の右の等式と同じに変形できます。

このように、等式（両辺とも正）は、両辺を底が同じ対数の真数に入れる
ことができます。
底がｅのとき、自然対数をとるといってます。

だから、ｙ＝ｘ^ｘはｅを底とする対数をとって、
　log(e)ｙ＝log(e)ｘ^ｘ＝ｘlog(e)ｘ
とできます。(普通、(e)は省略されますが）

お礼

なるほど！納得できました!!!　それで、xlogxってのは自然対数で、底のeが省略されてるだけってことですね。　ありがとうございます！！！

回答No.5

sanori

誤字訂正

誤
指数関数の微分をしたとき、微分する前と「部分」した後で、全く式が変わらない！

正
指数関数の微分をしたとき、微分する前と「微分」した後で、全く式が変わらない！

東北なまりになってしまいました

回答No.4

sanori

全くおっしゃるとおりで、
この問題に関しては、底は何でも構いません。

例えば、あなたが考えている２を底として両辺の対数を取っても

ｌｏｇ２のｙ＝ｌｏｇ２の（ｘ＾ｘ）
　　＝ｘｌｏｇ２のｘ

となります。

ｅ（自然対数の底）って、変な数字ですよね？
ｅ＝２．７１８２８１８２８・・・（だったかな？）

高校のとき数学の先生が言ってた語呂合わせは
「ふな一発二発一発二発」
でした。

なんで、こんな変な数字使うんでしょうね？！

私も、最初、そう思ったものです。

おそらく微分積分は、まだ授業で習っていないんですよね？

ｅという数字の、とてもよい点があります。
それは、
「指数関数の微分をしたとき、微分する前と部分した後で、全く式が変わらない！」
ということです。

微分というのは、たとえば２次関数のグラフのような曲線上で、ある１点における傾き（＝接線の傾き）を求めることです。

数学や理科では、色々な関数が登場しますが、その中でも「ｅのｘ乗」は、そのような特異な性質を持つのです。

ｅを使うことによって、人間社会が便利になっていることは、沢山あります。挙げると切りが無いほど沢山あります。
ちょっと例を挙げますと・・・・・・

電気回路の特性の計算、化学反応の速度の計算、金融機関の利子の計算、洗濯物が乾く速さ、放射能の計算や放射能廃棄物の保管期間の決定、機器が故障するまでの寿命・・・・

というわけで、
ｅの恩恵を授かる時期には、まだ達して無いと思いますが、今一時の辛抱という意味で、今は自然対数の勉強をしてください。

では、でーは。

お礼

なるほど、有難うございました。eがそんなに役に立つものなのか、ってのも分かりました(＾＾　数学は色々なところで役にたっているもんなんですね。
んで、微分はまだでしょうか・・・？といわれましたが、実は今数III、Cの最後の方です・・・（汗　いまさらこんなことを・・・　って感じですが、分からないことを一個一個やっていくしかないので、頑張っていきます。
数IIIはやってわかったけど、数IIがベースになっているので、今みたいに分からないところがあると辛いですね。今高２であと1年あるので、数IIからもう一度しっかりやらねば、って感じです。ありがとうございました！

回答No.2

kiyocchi50

自然対数とか常用対数とは対数の底が特殊なものです。自然対数がe、常用対数が１０です。それだけの話で、通常、常用対数の時は底を書かずlogだけにします。
「両辺の自然対数をとる」とは両辺をlogでくくると言う事だと覚えてください。

logy=logx^x=xlogxとなるのはわかりますか？
log(2)８＝log(2)２^３＝３log(2)２＝３ですから。
またわからなかったら質問してください。

お礼

なるほど、やっとxlogxになる意味がわかりました、ありがとうございます！！！！

回答No.1

wp38tomtom

ヒントだけ
「自然対数」ｅを底とする対数（ｅ＝2.718281828）
「常用対数」１０を底とする・・・１０の何乗かということ、つまり桁数
あとは、底の交換がわかれば

お礼

なるほど、ありがとうございました！