対数

質問

①8^44の最高位の数字は、log(底10)8^44の小数部分、(仮数)で求められるのは、わかりましたが、理解できません。

②何故、小数部分で数字がわかるんでしょうか？
③桁数をm,最高位の数字をaとすると、
a・10^m-1≦8^44＜(a+1)・10^m-1 の意味はわかります。
これらの常用対数をとるって考えに何でなるんですか？

本当に、多くの質問すいません。どれも、似通った質問かもしれませんが…、一生懸命独学しているのですが、理解が追いつきません。
出来れば易しめにお願いいたします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞出来れば易しめにお願いいたします。
ということでしたので、具体的にしてみます。

以下では、log(2)＝0.3010とします。

log(8^44)
＝44* log(8)
＝44* log(2^3)
＝132* log(2)
＝39.732

すると、8^44＝10^39.732 であることになります。

ここで
log(5)＝0.6990より 5＝10^0.6990
log(6)＝log(2)+log(3)＝0.7781 より、6＝10^0.7781
（log(3)＝0.4771としています。）

よって、log(5)＜0.732＜log(6)より 5＜10^0.732＜6となります。

(補足の補足)
実際に 10^0.732を計算すると、10^0.732＝5.3951となります。
(5と6の間になってます。)
これより、

8^44＝5.3951*10^39＝53951....(40桁の数)

と表されることになります。

これが、8^44＝10^b * 10^(m-1)＝10^(m-1+b) …(1)式の
内容にあてはまってきます。

お礼

本当にありがとうございます。
めちゃくちゃ感動しました。

補足

補足質問ではなく、すいません。もっと、感謝させてください。
実際に手を動かしてみれば、8^44=10^39,732であり、8^44=10^0,732×10^39であり、このイコールの関係を全く無視していた自分に気づかされました。 最高の感謝と、素晴らしい解説本当にありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi

少し長くなってしまいますが。

8^44が B*10^(m-1)の形に導ければ、
最高位の数も桁数もわかることはいいと思います。

さらに、Bについても B= 10^bの形に書ければ

8^44= 10^b * 10^(m-1)= 10^(m-1+b) …(1)式

と書けることになります。

この式について、対数をとると（底の10は略します）

log(8^44)
＝ log(10^(m-1+b))
＝ (m-1)+ b

となります。m-1は整数部分であり、bは小数部分となります。
もし bが1以上となると B= 10^b ≧10となり、m-1が +1されてしまいます。

「（常用）対数をとる」とは、「底をそろえる」ということです。
（同じ底で対数をとっているので）
つまり、8^44の底を 8→10に置き換えて(1)式の形へ変形し、
そのときの指数（bや m-1）を計算しようとしているのです。

(1)～(3)のご質問について、繰り返しになってしまいますが
要は(1)式の形に表したいというのが目的です。
その手段として、対数を用いて底をそろえていることになります。

お礼

かなり遅れてしまいました。すいません。早速紙に書き出して理解につとめます。ありがとうございます。