常用対数の応用？(数学II)

質問

常用対数の応用での基本問題からです。

問　「不等式(1/2)^n＜0.001を満たす整数nの最小値を求めろ。但しlog[10]2=0.3010とする。」
さっぱり分らないので、常用対数の応用というのを足掛りに適当にアプローチしてみました。突っ込み願います。

与式は、2^-n＜10^-3と変形出来る。
両辺の常用対数をとると、
log[10]2^-n＜log[10]10^-3 より、-n・log[10]2＜log[10]10^-3 だから、
-n・0.3010＜-3より、n・0.3010＞3。
ここで、不等式を満たす整数は1、2、3、4……と無数にあるが、求めるのは最小値であるから、n=1

投げやりでお恥ずかしい限りではありますが、何卒ご協力お願いします。

回答No.1

atomonados · ベストアンサー

つっこませていただきます。

(1/2)^nで，
n=1のとき，(1/2)^1=0.5　不等式を満たしません。
n=2のとき，(1/2)^2=0.25　不等式を満たしません。
n=3のとき，(1/2)^3=0.125　不等式を満たしません。
n=4のとき，(1/2)^4=0.0625　不等式を満たしません。

nが増加すれば，(1/2)^nは減少していきますが，はじめて0.001より小さくなるnは何だろうかという問題です。

いくら投げやりでも　n=1　はなかろうと思います。

n=5のとき，(1/2)^5=0.03125　不等式を満たしません。
n=6のとき，(1/2)^6=0.015625　不等式を満たしません。
n=7のとき，(1/2)^7=0.0078125　不等式を満たしません。

もう少しかな。

n=8のとき，(1/2)^8=0.00390625　不等式を満たしません。
n=9のとき，(1/2)^9=0.001953125　不等式を満たしません。
n=10のとき，(1/2)^10=0.0009765625　これですね。

つまり，最期の詰めが甘かったのです。

n・0.3010＞3
n＞3/0.3010
n＞(3.010-0.010)/0.3010
n＞10-0.010/0.3010

10より少し小さい数より，大きい整数がこの不等式を満たし，その最小値は10ですね。

お礼

お恥ずかしい限りです。完全に眠気に負けて、頭が働いてなかったのだと思います

御指摘ありがとうございました。

回答No.5

misawajp

＃４　ミス
n＞9.966・・　10以上の整数

お礼

取り敢えず当方は、凡ミスをやらかしたということでした。

回答No.4

misawajp

＞-n・0.3010＜-3より、n・0.3010＞3

ここまでは良い

＞ここで、不等式を満たす整数は1、2、3、4……と無数にあるが、求めるのは最小値であるから、n=1

どうしてそうなるのか？？

n・0.3010＞3　ならば　n＞3/0.3010　不等式を満たす整数は1、2、3、4・・にはならない
n＞0.9966・・　10以上の整数

お礼

完璧に-3 を-0.3と履き違えてました。

お恥ずかしい限りです。

回答No.3

ferien

＞問　「不等式(1/2)^n＜0.001を満たす整数nの最小値を求めろ。但しlog[10]2=0.3010とする。」

与式は、2^-n＜10^-3と変形出来る。
両辺の常用対数をとると、
log[10]2^-n＜log[10]10^-3 より、-n・log[10]2＜log[10]10^-3 だから、
＞-n・0.3010＜-3より、n・0.3010＞3。
ここまで合っています。

ｎ＞3／0.3010＝9.966……　なので、9.966……　を越える最小の整数はｎ＝１０
整数nの最小値は１０です。

お礼

赤っ恥です。考え方が大旨合ってたのが唯一の救いです。
ありがとうございました

回答No.2

spring135

n・0.3010＞3より

n>3/0.3010=9.97..

これを満たす最小のnは10

お礼

そうでした…お恥ずかしい限りです。

ご回答ありがとうございました