ベルヌーイ試行の問題

質問

一般のベルヌーイ試行の成功を表す確率Snとし、
P(Si=k),i=0,1,2,・・・とすると、
・平均E(Sn)=n*Sn
・分散V(Sn)=n*Sn*(1-Sn)
となるそうなのですが理由が分かりません
どなたかお願いします。
(「n*Sn」,「n*Sn*(1-Sn)」のnはもしかすると、違う値かもしれません）

回答No.1

adinat

表が出る確率p、裏が1-pのコイン投げを1回します。1回だけするのが厳密な意味のベルヌーイ試行です。だからSnと書くのはよくないと思います。

次にコイン投げをn回繰り返します。ベルヌーイ試行を繰り返す、というのがいちばん親切な言い方ですが、n回のベルヌーイ試行などと少し省略したような言い方もします。こちらをSnと書くことにします。

さてコイン投げ一回を行う場合、表が出たら1、裏が出たら0をとる確率変数S1を考えてみましょう。ものすごく簡単な計算から、平均がp、分散がp(1-p)になることが分かります。

で、コイン投げをn回するわけですから、Snの期待値は各回のコイン投げの期待値の和（和の期待値はいつでも期待値の和に等しいのです）だから、E[Sn]=nE[S1]=npです。分散も"独立な試行においては"和の分散は分散の和になるので、V[Sn]=nV[S1]=np(1-p)になるわけです。