反復試行 ｎが十分大きいときの議論

質問

ある試行の成功する確率がｐであるとする。これをｎ回繰り返したときの成功か数の期待値について考える。ｋ番目の試行に関すつ確率変数Akは

Ak＝ｎＣｋ・ｐのｋ乗・ｑのｎ－ｋ乗　（ｑ＝ｐ－１）となりますね。

Ｅを平均または期待値、Ｖを分散だと考えると、

Ｅ（ΣAk）＝ｎｐ　　　Ｖ（ΣAk）＝ｎｐｑ　になります。

で、問題はここからです。標準偏差（分散の平方根）について議論し、ｎが十分大きければ、ほぼｐの割合で成功することが確実に言えることを示せ。
という感じです。ポアソン分布と関連があるかと思うんですが。。。
いまいちわからないです。どなたか、知恵を貸してもらえないでしょうか？？お願いします。

回答No.1

nious

勘違いしているかもしれませんが、これは「大数の法則」の証明そのものではないかと思えます。

2項分布B(n,p)に従う変量Xにチェビシェフの不等式
P{|X-m|≦kσ}＞1-(1/k^2)を適用すると(k＞1、m=np、σ=√(npq))、
1≧P{np-k√(npq)≦X≦np+k√(npq)}＞1-(1/k^2)
∴1≧P{n-k√(pq/n)≦X/n≦p+k√(pq/n)}＞1-(1/k^2)、
ここでn→∞ とすると k√(pq/n)→0
よってkを十分に大きくとれば、X/nがほぼpに等しい確率は殆ど1に等しくなる。

補足

が十分大きければ、ほぼｐの割合で成功することが確実に言えることを示せ。というのは、大数の法則を説明するものなのですかね。。。

実は、統計力学の演習でこういうのが出されたんですね。もし確率統計の分野でしたら、そうなるかもしれないですが。。。

私もniousさんの言っていることがこの問題に対して的を射ているかはわかりません。一番引っかかるのは「標準偏差（分散の平方根）について議論し、」という部分があることです。ひょっとして、物理の現象と絡めなくてはいけません。。。

しかしながら、回答をありがとうございます。