統計学について

質問

統計学の問題です。平均はできたのですが、分散ができなくて困っています。解答、解説をどうかよろしくお願いします。問題は以下です。
確率変数X、Yは独立で、それらの平均と分散はE(X)=μ1、E(Y)=μ２、V（X）＝σ1、V(Y)=σ2であるとする。εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数であり、X、Yとは独立であるとする。そのとき、確率変数Z=εX+(1-ε)Yの平均と分散を求めよ。
ちなみに、答えは、E(Z)=pμ1+(1-p)μ2、V(Z)=pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)(μ1-μ2)^2 です。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数だから
ε=ε^2
(1-ε)ε=0
(1-ε)^2=1-2ε+ε^2=1-ε
Eε=Eε^2=p
E(1-ε)^2=E(1-ε)=1-p
E(ε-p)^2=Eε^2-p^2=p(1-p)
E(X)=μ1,V(X)=σ1だから
σ1=V(X)=E(X-EX)^2=EX^2-(EX)^2=EX^2-μ1^2
E(Y)=μ2,V(Y)=σ2だから
σ2=V(Y)=E(Y-EY)^2=EY^2-(EY)^2=EY^2-μ2^2
εとXは独立だから
E(εX)=EεEX=pμ1
E(εX)^2=(Eε^2)(EX^2)=p(σ1+μ1^2)
εとYは独立だから
E(εY)=EεEY=pμ2
E{(1-ε)Y}^2=E(1-ε)^2(EY^2)=(1-p)(σ2+μ2^2)

Z=εX+(1-ε)Yだから
平均
E(Z)
=E(εX+(1-ε)Y)
=E(εX)+μ2-E(εY)
=EεEX+μ2-EεEY
=pμ1+μ2-pμ2
=pμ1+(1-p)μ2

分散
V(Z)
=E{(Z-EZ)^2}
=E{Z^2-2ZEZ+(EZ)^2}
=E(Z^2)-2(EZ)^2+(EZ)^2
=E(Z^2)-(EZ)^2
=E[{εX+(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2
=E[(εX)^2+2ε(1-ε)XY+{(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2
=E[(εX)^2+{(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2
=E{(εX)^2}+E[{(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2
=E{(ε^2)(X^2)}+E[{(1-ε)^2}(Y^2)]-(EZ)^2
=E{ε(X^2)}+E{(1-ε)(Y^2)}-(EZ)^2
=(Eε)E(X^2)+E(1-ε)E(Y^2)-(EZ)^2
=p(σ1+μ1^2)+(1-p)(σ2+μ2^2)-(pμ1+(1-p)μ2)^2
=pσ1+pμ1^2+(1-p)σ2+(1-p)μ2^2-(pμ1)^2-2pμ1(1-p)μ2-{(1-p)μ2}^2
=pσ1+(1-p)σ2+pμ1^2-(pμ1)^2-2pμ1(1-p)μ2+(1-p)μ2^2-{(1-p)μ2}^2
=pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)μ1^2-2p(1-p)μ1μ2+p(1-p)μ2^2
=pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)(μ1-μ2)^2

お礼

助かりました。ありがとうございます。