ポアソン分布

質問

{Xj}を同一分布をなす互いに独立なベルヌーイ確率変数列とする（ここで、P[Xj=1]=p, P[Xj=0]=1-p)。ＳN=X1+X2+・・・+XNを確率変数Xjのランダムな個数N個の和とする。ここで、Ｎは平均λのポアソン分布をなすものとする。このとき、ＳNは平均λpのポアソン分布をなすことを証明せよ。という問いに対してなのですが、

Xj の和をとる個数 N がポアソン分布に従って変化するとき、Xj の和の分布を考えればよいことはわかりました。

N 個の確率変数の和が n になる確率は　N Ｃ n p^n (1-p)^(N-n) であり、和を取る確率変数の数が N である確率はポアソン分布なので e^(-λ) λ^N / (N !)

和が n になる確率は、
確率変数が N=n 個でかつ和が n
確率変数が N=n+1 個でかつ和が n
確率変数が N=n+2 個でかつ和が n
・・・・
で N が無限個まで確率の和を取ればよいので、

Σ(k=0→∞)の{ (n+k) p^n (1-p)^k }　と考えたのですが、ここから先に進めません。

おそらく途中で間違えてしまったと思うのですが、ご指摘いただけないでしょうか。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

なかなか粘りますね。

N 個の確率変数の和が n になる確率は　N Ｃ n p^n (1-p)^(N-n) であり、和を取る確率変数の数が N である確率はポアソン分布なので e^(-λ) λ^N / (N !)

和が n になる確率は、
確率変数が N=n 個でかつ和が n　　　　⇒　{ e^(-λ) λ^n / (n!) } { n Ｃ n p^n (1-p)^0
確率変数が N=n+1 個でかつ和が n　　　⇒　{ e^(-λ) λ^(n+1) / ((n+1)!) } { n+1 Ｃ n p^n (1-p)^1
確率変数が N=n+2 個でかつ和が n　　　⇒　{ e^(-λ) λ^(n+2) / ((n+2)!) } { n+2 Ｃ n p^n (1-p)^2
・・・・
で N が無限個まで確率の和を取ればよいので、

P(SN=n) = Σ[N=n,∞] e^(-λ) λ^N / (N !) (N Ｃ n) p^n (1 - p)^(N-n)
この式で、Σで加算をとるのは N = n,n+1,... ∞ であって、n は定数として扱えることに注意。定数と見なせるものを全部Σの前に出して式を整理すると、
P(SN=n) = { e^(-λ) p^n λ^n / (n !) } Σ[N=n,∞] λ^(N-n) (1 - p)^(N-n) / ( (N-n) ! )
= {e^(-λ) (λ p)^n / (n !) } Σ[i=0,∞] {λ(1 - p) }^i / i !　　　（ i = N-n とおきかえた）

ここで、Σ[i=0,∞] x^i / i ! = e^x より Σ[i=0,∞] {λ(1 - p) }^i / i ! = e^(λ(1 - p))
∴
P(SN = n) = e^(-λ) (λ p)^n e^(λ(1 - p)) / ( n ! )
　　　　　= e^(- λ p) (λ p)^n / ( n ! )　　　⇔　平均 λ p のポアソン分布

お礼

たびたびすみません；

なるほど。確率変数の和がＮである確率がポアソン分布であり、

和がnになるときの各確率を求めるときにポアソン分布を用いるのですね。おかげさまで理解できていなかったところがわかりました。

ありがとうございました。