微積分

質問

1.∫[a^2 -x^2]dx (a>0,|x|<a)　
[]はルートと思ってください。x=asintとおいて解くと思うんですが、そこからどうしていいかわかりません。
答えは公式を見て分かっているのでどういうふうに導くかを教えてください。

2.∫x^3 /[x^2 +5]
[]はルートと思ってください。t=...と置いて解くと思うんですが、どこをtと置いていいかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

dutchdog · ベストアンサー

1.x=asintよりtで微分すると
　dx=acostdt
　式に代入
∫√(a^2-(asint)^2)acostdt
=∫√(a^2(1-sin^2t))acostdt
=∫a√(1-sin^2t)acostdt
1-sin^2t=cos^2tより
=a∫√(cos^2t)acostdt
=a^2∫cos^2tdt
cos^2t=(1+cos2t)/2 より
=a^2∫(1+cos2t)/2dt
=(a^2)*{(1/2)t+(1/4)sin2t}
ちなみにsin^2t=(sint)^2のことです。

2.t=x^2+5とおくとxで微分すると
dt=2xdx
　ここで、xをtで表すと
　x=√(t-5)より
　dt=2√(t-5)dx
　x^3=(t-5)^(3/2)より
　∫x^3/√(x^2+5)
=∫(t-5)^(3/2)/√(t)dt/2√(t-5)
=∫(t-5)/2√(t)dt
それぞれ分解して解くと
=(1/2)*{(2/3)*t^(3/2)-10*t(-1/2)}

計算ミスをしているかもしれません。

お礼

回答ありがとうございました。答えあっていると思います。とても助かりました。