積分

質問

∫[α→β] dx/ルート{(β-x)(x-α)} (α<β)
が与えられています。

t=ルート{(x-α)}/ルート{(β-x)} とおくと思うのですが、tの変形の仕方が分かりません。　
おねがいします。

また、おき方が間違っているならば、訂正をおねがいします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

1/√(a^2-x^2) の積分は x=sinθ，あるいは x=cosθとおいて
実行できるます．
(β-x)(x-α) を展開して y=x+c として，
y の１次の項が消えるように c を選べば上の形に帰着できます．
同じことですが，いきなり置き換えるなら
x = αcos^2(θ) + βsin^2(θ)
とおけばできます．

お礼

1/√(a^2-x^2) の積分に帰着させるのですか。
納得しました。　
回答どうもありがとうございました。
(積分はArcsinを使いました。)

回答No.2

grothendieck

Lone07さん、こんにちは。別解としてΒ関数に帰着させてみましょう。
　∫[α→β] dx/√{(β-x)(x-α)} = Β(1/2,1/2)
ここでΒはEulerのΒ関数で、
　Β(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
　Γ(1/2) = √π
　Γ(1) = 1
を用いると
　∫[α→β] dx/√{(β-x)(x-α)} = π

お礼

・・・すごい。
気が付きませんでした。早いですね。ビックリです。
どうもありがとうございました。