置換積分について質問です

質問

次の問題が与えられています。

【問題1】
x√(a+bx^2) (a,bは定数)

また、次のように解説されています。

【解説】
√(a+bx^2)=t　とおくと、a+bx^2=t^2
よって、dx/dt = t/bx

以上なのですが、自分には、どうしてdx/dt = t/bxになるのかが分かりません。
この部分について、どうしてこのように変化するのか、どなたかご解説願います。

また、合わせて次の問題についてもご回答願いたく存じ上げます。

【問題2】
∫{1/√(5-x^2)}dxを計算せよ

解説と解答がテキストにはないので、次のように計算を進めてみました。

t=√(5-x^2)とおくと、

（与式）=∫(1/t)*(dx/dt)*dt

となります。
ですので、dx/dtを求めようと考えました。
しかし、tはルートが付いています。
とりあえず、二乗してルートを消そうと考えましたが、そうすると今度は、
t^2=|5-x^2|
となります。
x^2>5の場合には、t^2=x^2-5となり、x^2<5の場合には、t^2=5-x^2となるものと、場合分けして考えてみようと発想しましたが、しかしここから、dx/dtを求めるにはどうすればよいのか分かりません。
どうやってこの問題を解いていけばよいのでしょうか？
どなたか、ご回答をお願い申し上げます。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>【解説】
√(a+bx^2)=t　とおくと、a+bx^2=t^2 (1)
よって、dx/dt = t/bx

(1)をtで微分する。x=x(t)であることに注意。x'=dx/dtと書く。

2bxx'=2t

x'=t/bx

＞【問題2】
I=∫{1/√(5-x^2)}dx (2)

を計算せよ

解説と解答がテキストにはないので、次のように計算を進めてみました。

t=√(5-x^2)とおくと、

（与式）=∫(1/t)*(dx/dt)*dt

となります。
ですので、dx/dtを求めようと考えました。
しかし、tはルートが付いています。
とりあえず、二乗してルートを消そうと考えましたが、そうすると今度は、
t^2=|5-x^2|　　　　　　　　　　　　　　(3)

積分は実数範囲で行うので(2)は5-x^2≧０を前提にしている。よって(3)は

t^2=5-x^2

しかしこの変換は成功しません。

うまくいくのは以下の置換です。

x=√5sint　　　　　(4)

このとき

dx/dt=√5cost　, dx=√5costdt　

I=∫{1/√(5-x^2)}dx=∫{1/√5cost}√5costdt=∫dt=t+C

(4)より

t=arcsin(x/√5)

よって

I=arcsin(x/√5)+C

お礼

う～む、なるほど。
sintを使うのですか。
なかなか、そういう発想はできないのですが、これはもう、お決まりだと思うしかないのでしょうね。
詳しく教えていただき、ありがとうございます。

回答No.1

yyssaa

以上なのですが、自分には、どうしてdx/dt = t/bxになるのかが分かりません。
この部分について、どうしてこのように変化するのか、どなたかご解説願います。
＞a+bx^2=t^2の両辺をtで微分すると2bxdx/dt=2tだから
dx/dt=t/bx
【問題2】
∫{1/√(5-x^2)}dxを計算せよ
＞ヒント、x=√5sinyで置換する。