積分

質問

∫ x(x+4)^1/3 dx
t=x+4 x=t-4 dt/dx=1
∫(t-4)t^1/3 dt = ∫ (t^4/3 -4t^1/3) dt
=3/7t^7/3 -4・3/4t^4/3
=3/7(x+4)^7/3 -3(x+4)^4/3
で正解ですか？
間違っていたら正しい答えを教えてください。

回答No.1

info222_

>=(3/7)(x+4)^(7/3) -3(x+4)^(4/3)
>で正解ですか？
正解ではありません。
不定積分ですから、積分定数の任意定数を加えておけば正解になります。
=(3/7)(x+4)^(7/3) -3(x+4)^(4/3)+C　(Cは任意定数）

なお (x+4)^(1/3)　（(x+4)の３乗根）を括り出せば
=(3/7)(x+4)(x+4-7)(x+4)^(1/3)+C
=(3/7)(x-3)(x+4)(x+4)^(1/3)+C
=(3/7)(x^2+x-12)(x+4)^(1/3)+C　(Cは任意定数）
などと変形できます。