そもそも無限粒子系の保存則って数学化できるんですか

質問

運動量保存則、総エネ保存則・・・他には、角運動量保存則とかありますが、数学的に記述できるのは有限粒子系の場合はいいと思いますが、無限粒子系では、あやふやのままではありませんか？

例えば、質点2個の場合、mr(2)+MR(2)=0 で運動量保存則を記述しましたが
有限個の場合も
m1r1(2)+・・・+miri(2)=0　　* r(2):位置の2階微分だと思って下さい
でいいと思いますが、

可算個の粒子の場合
Σ[i∈N]miri(2)=0 と書いたはいいですが、
上の式の収束をどう定義するかが問題になると思います
普通、数学で習う収束の定義だと、iを十分大きく取るとmiri(2)の絶対値が0に近づかないと収束しません．
(cf ε-δ論法による数列や関数の定義)
ですが、可算粒子系で|miri(2)|→0(i→∞)を要請するのも変だと思います
( 数える順番によって変わることもあってはなりませんし)

同様に
連続濃度粒子系についても同じようなことがいえると思います
∫(r∈R^3)σ(r)rdr=0
|σ(r)r|→0(|r|→∞)
この辺、数学的にきちんとしたいときはどう考えたらいいですか？
教えて下さい．
よろしくお願いします．

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

非常に良いご質問だと思います。量子電気力学によれば振動数νの光子がn個あるとき、(n+1/2)hνのエネルギーを持ちます。考えている領域の大きさをLとすると
　　　ν=nπc/L　(n=1,2,3,…)
となります。光子が１個もないとしてこれを全ての振動数について和をとると
　Σ(1/2)πc/L = ∞
真空のエネルギーでもすでに発散している！　「観測にかかるのはエネルギーの差だけだから、真空のエネルギーを基準点にすれば真空のエネルギーは考えなくて良い」というわけにはいきません。真空のエネルギーはカシミール効果としてちゃんと観測にかかります。また真空のエネルギーが宇宙項を作っているのではないかとも考えられます。有限自由度の系では保存則とはラグランジアンがある変換の下で不変であることでした。場の量子論でも形式的には保存則はラグランジアンのある変換の下での不変性として定式化されます。しかしラグランジアンが数学的に定義されるのかがそもそも怪しい、少なくともくり込みでラグランジアンがどんどん変わって行くので摂動の各次数で保存則が成立していることを示す必要があるでしょう。だからエネルギー保存が成り立たないのではないかと考える人はいませんが、ラグランジアンだけ見ると不変であるように見えるが保存則は成り立たないことはしばしばあり、anomalyと呼ばれています。

お礼

ありかどうございます．
お礼の返事が遅くなってすみませんでした．
ご回答の内容が大変難しいので、返事を考えたままになってしまいました．
理解するのは、難しいですが、ご回答いただけて嬉しいです
ラグラジアンについて少し調べてみました
ですが、分ったのは、ラグラジアンの定義くらいで
保存則とラグラジアンのある変換の元での不変性
anomalyについての一般的理解は、まだまだです．
少しずつでも勉強していきたいと思います(汗)．
これからもご教授、よろしくお願い致しますm(_ _)m

回答No.3

shiara

No2です。運動量の時間微分は、「力」と定義されています。運動量を変化されるものをとりあえず「力」と読んでいる訳です。考えている物理体系の外側から力が働かない場合（閉じた系の場合）は、力の合計（ベクトルの合計）はゼロであるので、総運動量は変化しません。
　どのようなことをされたいのか、よく分かりませんが、任意の慣性系で成り立つ連続体の運動を考えるのであれば、特殊相対性理論に基づく流体力学を学ばれるのがよいでしょう。その場合、運動量はエネルギーと同列になり、エネルギー運動量テンソルＴμνとして扱われます。エネルギー運動量保存則は、∂Ｔμν/∂xν＝0となります。閉じていない系では、右辺はゼロではなく、4次元力の密度になります。

お礼

ありかどうございます．
お礼の返事が送れてすみませんでした．
ご回答の内容が難しいので、返事を考えたままになってしまいました．
相対論的流体力学・・・
この質問との関連は別として
とりあえず、ボチボチ勉強していきたいと思います(汗)．
これからご教授、よろしくお願い致します．m(_ _)m

回答No.2

shiara

保存則とは、衝突などの前後で運動量などの総和が変わらないということです。運動量の総和がゼロになることではありません。運動量の総和がゼロになるのは、重心系という特別な座標系から観測した場合で、その場合は、衝突の前後で運動量の総和はゼロのままです。

お礼

ありがとうございます．
>保存則とは、衝突などの前後で運動量などの総和が変わらないということです。
ということは、総運動量の時間微分=Σmiri(2)=0ということでいいと思います.
(あっ、でも時間微分と総和をとる操作の可換性も問題になるのでΣmiri(2)でなく、d(Σmiri(1))/dtと表さなければならないのかも...)

で、しかも、座標系によらず成り立つかどうかまで考えると、まだまだ、問題の余地ありそうに思えました．
任意の慣性系で成り立つのでしょうか...

ただ、わたしが疑問に思っていることは可算個や連続濃度などの無限の粒子からなる場合、(総運動量でなく)総運動量の時間微分をどのように考えるについて、数学的にどう表現できるかということでした．
　何かしら、うまい表現がないでしょうか

回答No.1

shkwta

無限粒子系とは呼びませんが、連続体の力学と呼ばれる分野があります。

たとえば、弾性体で、物体の各部が伸縮しているとしたら、物体の微小部分（正しくは体積の全微分）dVを考えて、このdVの空間での位置、質量(ρdV　ρは密度)、上下左右前後から受ける力で運動方程式（微分方程式）を立てて処理します。

運動量は、もちろん無限個のdVの運動量の合計であって、
P = ∫[V] ρ(↑v)dV　　(vは微小部分の速度）
となります。他の物理量（エネルギー、角運動量等）でも同様に積分で表示できます。

流体力学や、いろいろな波動現象でも同様の方法で記述されます。本当は、物質は原子でできているので、連続体とみなして微積分で扱うのは一種の近似法です。

全宇宙を力学の対象として計算することは実際にはないと思います。無限の大きさの物体や空間を仮想して計算することはありますが、その場合は、空間なり物体なりの各部分でそれぞれ物理法則が成り立っていればよいので、全体の合計が収束する必要はありませんし、収束しないのが普通だと思います。。

でも、上のようなことは基本的すぎるので、別の意味のご質問かもしれません。たとえば、全宇宙でエネルギー保存則や運動量保存則は成り立っているか、といった話でしょうか？

お礼

ありがとうございます
ご回答嬉しいです m(T_T)m

　P = ∫[V] ρ(↑v)dV　・・・ポイントとなる式のようですね
[V]は積分範囲、↑はベクトルであることを意味しているのでしょうか

>本当は、物質は原子でできているので、連続体とみなして微積分で扱うのは一種の近似法です。
わたしはど素人なので、疑問に思いましたが、本当は原子を点とみなす方が近似のように思えるのですが...
原子を球とみなして積分する方がまだ正確では...