0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は非可算個ある事を示せ

質問

[問] 0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は非可算個ある事を示せ。
という問題なのですがどうすればいいのかさっぱり分かりません。

「f(x)=tanxは区間(-π/2,π/2)とRを一対一に対応させ,g(x)=π(x-1/2)は区間(0,1)と区間(-π/2,π/2)とを一対一に対応させるからRとI=(0,1)は対等である。
従って,Rが可算でないことを示すにはIが可算でない事を示せばよい。
有限数列,例えば0.237等は0.236999…と表す事にする。
Iの全ての数a_1,a_2,を
a_1=0.a_11a_12a_13…
a_2=0.a_21a_22a_23…
a_3=0.a_31a_32a_33…
：
(a_ijは0から9までの数字)

と番号付けできたと仮定する。
数bをb_i=
1 (a_iiが偶数の時)
2 (a_iiが奇数の時)
とするとb=0.b_1b_2b_3…
はa_1ともa_2ともa_3とも…　異なる事が分かる。
しかしbは紛れも無く無限数列なのでIに属する。これは矛盾である」

というカントールの対角線論法を利用するのかとも思いましたが。。。

どのようにして示せますでしょうか?

回答No.5

rinkun · ベストアンサー

ANo.3です。ANo.3への返事がANo.1の方に書かれているようですね。
そこの追加質問に対する返事です。

>> まずＸ＝「0と1からなる無限数列の全体」が非可算であることは明らかです。
>> これは無限数列が自然数(可算無限濃度)から2={0,1}への関数で、
>これは1→0.00…,2→1.00…,3→0.100…,4→1.100…,5→0.0100…,6→0.1100…,7→1.0100…,8→1.1100…
>という具合に対応させるのでしょうか?

違います。0と1からなる無限列{a_n}のn番目の項は0か1の値をとります。
従って、無限列{a_n}は自然数全体Nから{0,1}への関数
　N∋n |→ a_n∈{0,1}
と見ることができるのです。
一般に集合Aから集合Bへの関数は全部で|B|^|A|個あるので、無限列(Nから{0,1}への関数)は全部で2^|N|個あります。

>えーと,2^(可算無限濃度)は可算な無限集合の冪集合という意味ですよね。
厳密には違いますが、「{0,1}の無限列」と「可算無限集合の部分集合」には自然な対応があるので、可算無限集合の冪集合と言っても良いです。

>ん? a_0やa_1では1が現れる比率は1/2ですよね。1は1=1.000…と書けるので1で1が現れる比率は(ほぼ)0なのでは?
>よって、a_0,1,a_1,1,...は1が現れる比率が順に1/2,0,1/2,0,…となり,この数列a_0,1,a_1,1,...で1が現れる比率は1/4になるのではないでしょうか?

違います。
a_0,1,a_1,1,...
は数列{b_n}を
b_n=a_k (if n=2k)
b_n=1 (if n=2k+1)
で定めた
b_0=a_0,b_1=1,b_2=a_1,b_3=1,...
という数列の積もりです。
b_nは1の表れる比率が偶数項は1/2、奇数項は1ですから、全体としては3/4になります。
なお、ＡからＢへの単射は、{a_n} |→ {b_n}の対応です。
# ＡもＢも要素は無限列であって、一つの項ではないので間違いのないように

>> 一方でＸ＝Ａ＋Ｂ（＋は直和）
>直和という事は∀x∈Xに対して(xは1と0が連なる無限列),∃1a∈A且つ∃1b∈B (∃1は一意的存在を意味する)
>such that x=a+bですよね。

違います。ここでは集合の直和、すなわち共通部分のない集合の和集合の意味です。
ＡとＢは定義により共通部分がないことは明白です。

>> は非可算ですから、ＢはＡが可算か否かに関わらず非
>> 加算でなければいけません。
>これは何の命題でしょうか?
>これは「Xが非可算でAがXの真部分集合ならばX＼Aも非可算」という命題は偽ですよね。

Ｂが可算だとしましょう。
|Ａ|≦|Ｂ|なので、Ｂが可算ならＡも可算、従って|Ｘ|＝|Ａ|＋|Ｂ|も可算です。
これはＸが非加算であることに矛盾します。

お礼

大変有難うございます。

> ANo.3です。ANo.3への返事がANo.1の方に書かれているようですね。

すいません。間違えました。

> そこの追加質問に対する返事です。

> 1→0.00…,2→1.00…,3→0.100…,4→1.100…,5→0.0100…,6→0.1100…,7→1.0100…,8→1.1100…
> という具合に対応させるのでしょうか?
> 違います。0と1からなる無限列{a_n}のn番目の項は0か1の値をとります。
> 従って、無限列{a_n}は自然数全体Nから{0,1}への関数
> 　N∋n |→ a_n∈{0,1}
> と見ることができるのです。
> 一般に集合Aから集合Bへの関数は全部で|B|^|A|個あるので、無限列(Nから{0,1}への
> 関数)は全部で2^|N|個あります。

2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")
そして連続体仮説から2^アレフ0=アレフ1(:非可算の濃度)でなければならないのですね。
従ってXは非可算なのですね。
連続体仮説は正しいと仮定していいのでしょうか?

> 違います。
> a_0,1,a_1,1,...
> は数列{b_n}を
> b_n=a_k (if n=2k)
> b_n=1 (if n=2k+1)
> で定めた
> b_0=a_0,b_1=1,b_2=a_1,b_3=1,...
> という数列の積もりです。
> b_nは1の表れる比率が偶数項は1/2、奇数項は1ですから、
> 全体としては3/4になります。

納得です。

> なお、ＡからＢへの単射は、{a_n} |→ {b_n}の対応です。
> # ＡもＢも要素は無限列であって、一つの項ではないので間違いのないように

これも納得です。

> 違います。ここでは集合の直和、すなわち共通部分のない
> 集合の和集合の意味です。

"排反"や"互いに素"の意味だったのですね。

> ＡとＢは定義により共通部分がないことは明白です。

そうですね。これも納得です。

所でX⊃A+Bは言えますがX⊂A+Bは言えますか?
例えばa_0,0,a_1,1,a_2,1,a_3,1,…という数列は確かにXの元となりますがBの元にはなり得ないのでは?

> Ｂが可算だとしましょう。
> |Ａ|≦|Ｂ|なので、Ｂが可算ならＡも可算、従って|Ｘ|＝|Ａ|＋|Ｂ|も可算です。
> これはＸが非加算であることに矛盾します。

X=A∪B且つA∩B=φなら納得です。

回答No.9

rinkun

ANo.7について。
ちょっと用語法に混乱があるようです。

> 2＾(自然数の基数)=(実数の基数)
これは常に成り立ちます。
(実数の基数)は連続体濃度ともいわれ、2^(可算無限)です。
またこれをアレフということもあります。(アレフ1ではない)
アレフ1の定義は、アレフ0の次の基数(基数＝濃度は大小順序で整列している)です。同様に順にアレフ2、アレフ3、と定義されます。
連続体仮説は アレフ＝アレフ1 です。連続体仮説を仮定しない場合、一般にはアレフが何番目の無限基数かは分かりません。
# もちろん アレフ＝アレフ2 など特別な仮定をおいて議論することもある

お礼

有難うございます。
お陰様で解決できました。

アレフについても分かりました。

回答No.8

rinkun

ANo.5のお礼への回答です。

> 2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")
> そして連続体仮説から2^アレフ0=アレフ1(:非可算の濃度)でなければならないのですね。
> 従ってXは非可算なのですね。
> 連続体仮説は正しいと仮定していいのでしょうか?

非加算は、2^アレフ0>アレフ0 だけから出ます。
可算（すなわち可算無限あるいは有限）でなければ非可算です。連続体仮説は必要ありません。
後は余談です。
アレフ:=2^アレフ0 が非可算であることから、アレフ1の最小性によりアレフ≧アレフ1 が出ます。
逆の アレフ≦アレフ1 は連続体仮説です。

> 所でX⊃A+Bは言えますがX⊂A+Bは言えますか?
> 例えばa_0,0,a_1,1,a_2,1,a_3,1,…という数列は確かにXの元となりますがBの元にはなり得ないのでは?

Ｂの定義を確認しましょう。Ｂは「1の比率が1/2に収束しない無限数列の全体」であって、Ａ＝「1の比率が1/2に収束する無限数列の全体」の像ではありません。
Ｂには1の比率が収束しないものも含めてＡに属さない全ての{0,1}無限列が含まれます。

お礼

どうも有り難うございます。

> Ｂの定義を確認しましょう。
> Ｂは「1の比率が1/2に収束しない無限数列の全体」で
> あって、Ａ＝「1の比率が1/2に収束する無限数列の全体」の像ではありません。
> Ｂには1の比率が収束しないものも含めて
> Ａに属さない全ての{0,1}無限列が含まれます。

納得です。
単射f:A→BをA∋∀{a_n}→f({a_n})=a_0,1,a_1,1,a_2,1,…
と定義したのでしたね。

アレフについても分かりました。

回答No.7

masudaya

>2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")
>そして連続体仮説から2^アレフ0=アレフ1(:非可算の濃度)でなければならないのですね。
>従ってXは非可算なのですね。
連続体仮説は正しいと仮定していいのでしょうか?

ちょっと誤解があるようです.
2^|N|=2^アレフ0>アレフ0
なので,非可算です.(アレフ0が可算の基数なので)
連続体仮説は,ほかの方も説明しているように
2＾アレフ0=アレフ1
つまり,
2＾(自然数の基数)=(実数の基数)
と言っているもので,これは平行線定理と同じく
仮説を正としても,偽としても集合論が構成できる
ことが分かっています.(詳しくは知りませんが...)

お礼

有難うございます。
お陰様で解決できました。

アレフについても分かりました。

回答No.6

masudaya

＃3さん,お見事です.
"比率が1/2に収束する数列全体の集合を考え,これが加算個であること"を考えているときに,どうも怪しい気がしていました．
(一応文面にも記載しましたが．)

質問者さんにも,迷惑をかけてすみません.

お礼

大変有難うございます。

> ANo.3です。ANo.3への返事がANo.1の方に書かれているようですね。

すいません。間違えました。

> そこの追加質問に対する返事です。

> 1→0.00…,2→1.00…,3→0.100…,4→1.100…,5→0.0100…,6→0.1100…,7→1.0100…,8→1.1100…
> という具合に対応させるのでしょうか?
> 違います。0と1からなる無限列{a_n}のn番目の項は0か1の値をとります。
> 従って、無限列{a_n}は自然数全体Nから{0,1}への関数
> 　N∋n |→ a_n∈{0,1}
> と見ることができるのです。
> 一般に集合Aから集合Bへの関数は全部で|B|^|A|個あるので、無限列(Nから{0,1}への
> 関数)は全部で2^|N|個あります。

2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")
そして連続体仮説から2^アレフ0=アレフ1(:非可算の濃度)でなければならないのですね。
従ってXは非可算なのですね。
連続体仮説は正しいと仮定していいのでしょうか?

> 違います。
> a_0,1,a_1,1,...
> は数列{b_n}を
> b_n=a_k (if n=2k)
> b_n=1 (if n=2k+1)
> で定めた
> b_0=a_0,b_1=1,b_2=a_1,b_3=1,...
> という数列の積もりです。
> b_nは1の表れる比率が偶数項は1/2、奇数項は1ですから、
> 全体としては3/4になります。

納得です。

> なお、ＡからＢへの単射は、{a_n} |→ {b_n}の対応です。
> # ＡもＢも要素は無限列であって、一つの項ではないので間違いのないように

これも納得です。

> 違います。ここでは集合の直和、すなわち共通部分のない
> 集合の和集合の意味です。

"排反"や"互いに素"の意味だったのですね。

> ＡとＢは定義により共通部分がないことは明白です。

そうですね。これも納得です。

所でX⊃A+Bは言えますがX⊂A+Bは言えますか?
例えばa_0,0,a_1,1,a_2,1,a_3,1,…という数列は確かにXの元となりますがBの元にはなり得ないのでは?

> Ｂが可算だとしましょう。
> |Ａ|≦|Ｂ|なので、Ｂが可算ならＡも可算、従って|Ｘ|＝|Ａ|＋|Ｂ|も可算です。
> これはＸが非加算であることに矛盾します。

X=A∪B且つA∩B=φなら納得です。

補足

↓すいません。また投稿場所を間違えてしまいました。

回答No.4

noname#62967

#3さんの証明がきれいですね。

> 1の比率が1/2に収束する無限数列が可算個と言っていますが、私はこれには懐疑的です。

たしかに、{(1,1,0,0), (1,0,1,0)}^N ですら非可算ですね。

この考え方を使えば、たとえば1の比率が1/3に収束する無限数列は、{(1,1,0,0,0,0), (1,0,0,1,0,0)}^N を含むので、質問の集合の濃度が非可算である、というような証明も可能ですね。

回答No.3

rinkun

まずＸ＝「0と1からなる無限数列の全体」が非可算であることは明らかです。
これは無限数列が自然数(可算無限濃度)から2={0,1}への関数で、その全体Ｘは2^(可算無限濃度)＝連続無限濃度があるからです。
ちなみにANo.1さんのアレフを使って書くと
可算無限濃度＝アレフ0
最初の非加算無限濃度＝アレフ1
連続無限濃度＝2^(アレフ0)＝アレフ
です。
ANo.2さんが指摘しているように、アレフ1＝アレフは通常数学の範囲では決定不能で、通常は使いません。
ただし対角線論法によりアレフ0＜アレフであり、従ってアレフは非加算で、アレフ1≦アレフであることは分かっています。

次にANo.1さんは、1の比率が1/2に収束する無限数列が可算個と言っていますが、私はこれには懐疑的です。しかし、証明ではそれは必要ありません。
1の比率が1/2に収束する無限数列{a_n}に対して、
a_0,1,a_1,1,...
という数列を作れば、この数列の1の比率は簡単な計算により3/4に収束します。
これによりＡ＝「1の比率が1/2に収束する無限数列」からＢ＝「1の比率が1/2に収束しない無限数列」の中への単射が定義できたので|A|≦|B|です。
一方でＸ＝Ａ＋Ｂ（＋は直和）は非可算ですから、ＢはＡが可算か否かに関わらず非加算でなければいけません。

回答No.2

Tacosan

使える道具がわからんのだけど,
・実数を「収束する有理数列」で定義する
ことを想定すれば一瞬で終わる気がする.
任意の実数に対し「それに収束する有理数列」が存在し, 1 の比率がその数列の各項になるように 0/1 を配置するだけ, ですよね.
ちなみに「2^aleph0 = aleph1」は決定不能です＞#1. つまり, = を仮定しても ≠ を仮定しても矛盾なく公理系を作ることができます. もちろん, 2^aleph0 は (aleph1 かどうかには関係なく) 非可算なんですが.

お礼

有難うございます。
お陰様で解決できました。

回答No.1

masudaya

まず,"0","1"からなる無限数列全体が非加算個(アレフ1)であることを示しましょう.無限数列の個数は加算個(アレフ0)であり,各数列は"0","1"の2通りあります.つまり,"0","1"からなる無限数列全体は
2^(アレフ0)となり,これはアレフ1です.これは,対角線論法を用いて証明可能だったと思います.
次に比率が1/2に収束する数列全体の集合を考え,これが加算個であることを示せればよいことになります.ここで,すべてが"0"の無限数列Aとすべてが"1"の無限数列Bを考えて,AにBの要素を埋め込んでいけば,比率が1/2になると思われる.そうすると0の個数と1の個数の数列で表されることになります.
たとえば{0011101100011・・・}は
(2,2),(1,2),(3,2)となります.こうすると,整数で表されるベクトルの集合となるため,これはアレフ0となる.
(少し怪しい気もします,ご自身でお確かめください)
以上から,0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は
アレフ1－アレフ0＝アレフ1
となります.

補足

詳細なご説明大変有難うございます。

> まずＸ＝「0と1からなる無限数列の全体」が非可算であることは明らかです。
> これは無限数列が自然数(可算無限濃度)から2={0,1}への関数で、

これは1→0.00…,2→1.00…,3→0.100…,4→1.100…,5→0.0100…,6→0.1100…,7→1.0100…,8→1.1100…
という具合に対応させるのでしょうか?

> その全体Ｘは2^(可
> 算無限濃度)＝連続無限濃度があるからです。

えーと,2^(可算無限濃度)は可算な無限集合の冪集合という意味ですよね。

> ちなみにANo.1さんのアレフを使って書くと
> 可算無限濃度＝アレフ0
：
> 1≦アレフであることは分かっています。

了解致しました。

> 次にANo.1さんは、1の比率が1/2に収束する無限数列が可算個と言っていますが、私
> はこれには懐疑的です。しかし、証明ではそれは必要ありません。
> 1の比率が1/2に収束する無限数列{a_n}に対して、
> a_0,1,a_1,1,...
> という数列を作れば、この数列の1の比率は簡単な計算により3/4に収束します。

ん? a_0やa_1では1が現れる比率は1/2ですよね。1は1=1.000…と書けるので1で1が現れる比率は(ほぼ)0なのでは?
よって、a_0,1,a_1,1,...は1が現れる比率が順に1/2,0,1/2,0,…となり,この数列a_0,1,a_1,1,...で1が現れる比率は1/4になるのではないでしょうか?

> これによりＡ＝「1の比率が1/2に収束する無限数列」からＢ＝「1の比率が1/2に収束
> しない無限数列」の中への単射が定義できた

えーと,これはその単射をfとするとf(a_0)=a_0,f(a_1)=a_1,…と定義されたのでしょうか?

> ので|A|≦|B|です。

濃度の不等号の定義「|A|≦|B| ⇔(def) AからBへの中への単射が存在する」から言えるのですね。
因みにB={a_0,1,a_1,1,...}={1,a_0,a_1,a_2,a_3,...}ですね。

> 一方でＸ＝Ａ＋Ｂ（＋は直和）

直和という事は∀x∈Xに対して(xは1と0が連なる無限列),∃1a∈A且つ∃1b∈B (∃1は一意的存在を意味する)
such that x=a+bですよね。
もし,x=1.111…ならa=0.1010…,b=1.0101…とも採れるし、a=1.0101…,b=0.1010…とも二通りとれるので直和の条件を満たさないのではないでしょうか?

> は非可算ですから、ＢはＡが可算か否かに関わらず非
> 加算でなければいけません。

これは何の命題でしょうか?
これは「Xが非可算でAがXの真部分集合ならばX＼Aも非可算」という命題は偽ですよね。
(∵この命題はX:=R,A:={a;aは無理数}とするとX＼AはQとなり可算だから偽)