濃度の厳密な定義はもはや不可能なのですか?

質問

識者の皆様宜しくお願い致します。

最近,集合位相入門(松坂和夫)を購入し拝読しておりますがこの本のp65にて

『濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろう』

という記述がありますが,これは正確に解釈すると

『濃度は"集合全体の集まり"を対等関係によって類別したときの各"同値類"である。実は集合全体の集まりというのは、我々が今まで考えていた意味での集合ではないが、"類別"の考えを少し広めて用いることは当然認めてもよいだろうが万一ダメだったとしても当方は一切責任持ちません』

と見て取れ,何とも歯切れの悪い定義だなぁと感じました。

結局,濃度(という同値類)はφと有限集合{1,2,…,n}と可算集合N(=:アレフ_0)とアレフ_0の非可算集合Rとアレフ_1の非可算集合2^R,アレフ_3の非可算集合3^R,…
と可算個に類別できるのだと思います。

濃度の厳密な定義を知りたいのですがこの
"実は集合全体の集ま…ことは当然認めてもよいだろう"
の箇所の曖昧さをすっきり解消させるにはどう記述すればいいのでしょうか?
公理的集合論の書籍でさえも濃度の定義の際に「集合全体の集まりを類別する」という表現をさり気なく記述せずに類別によって濃度の定義をしているようです。

濃度を厳密に定義する場合,どういう手順で類別を定義すればいいのでしょうか?

また,
歯切れのいい濃度の定義をしてある書籍やサイトがあれば是非ご紹介下さい。

回答No.1

ta20000005

かなり混乱されているようですね。
通常のZFC集合論では以下の手順で厳密に濃度を定義しています。しかし、そのハートの部分は『集合全体を等濃という同値関係で類別したもの』なので、実用的にそちらで説明しているのでしょう。実際それで十分ですし。また、順序数より濃度のハートによる感覚的理解の方がわかりやすいというのがあり、先に濃度論を展開したいというのもあるでしょう。

(1)順序数論を展開
これは濃度の概念抜きで行えます。

(2)整列可能定理を証明
これにより任意の集合に対し等濃な順序数が少なくともひとつ存在します。ちなみに等濃という概念は単射だけで定義できています。

(3)基数を定義
順序数の中に自分より順序数の意味で小さい順序数とは等濃にならない順序数、つまり、自分自身と等濃な最小の順序数が自分自身となる順序数があります。これが等濃な順序数同士の中で最小なものになります。このような順序数を基数と定義します。

以上の準備をした上で、集合Ａの濃度とはＡと等濃な最小の順序数、つまり、Ａと等濃な基数であるとして定義します。
田中尚夫氏の公理的集合論とか、ゲーデルと20世紀の論理学シリーズの集合あたりではちゃんと書いてあったと思います。