直線電流周辺での荷電粒子の運動

質問

直線電流周辺での荷電粒子の運動

(0,0,z)方向に一様に電流Iが流れているとします。ビオサバールの法則からその周辺にはB = μI/2πr (r=√{x^2+y^2})の磁場が発生するはずです。

ここで、ある座標(r_0,0,0)から速度(0,v_0,0)を持たせて粒子を打ち出した場合の軌跡は計算可能でしょうか。自分はma = q(v×B)を書き下し、dz/dt = k{ln(r/r_0)} , k≡qμI/2mπ　以上計算が出来ませんでした…。

数値計算でシミュレーションして見たところ、z方向にはほぼ等速で移動しつつ、電流周りに周期的に回転しながらr方向に振動する粒子の運動が検出されました。
数値計算の結果の妥当性を調べたいのですが、上の式は解析的に解けるのでしょうか。。そしてそもそもこの系は、全体としてエネルギーは増加するのでしょうか…。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

>無理やり毎ステップにエネルギー保存則を適用して速度を収束させていますが

保存則の式や収束のアルゴリズムがわからないので何ともいいがたいです。v=一定なので，方向さえ変えてやればいいわけですが…。

>これはxyz座標系の限界、というべきものなのでしょうか。…円筒座標ですべきなのでしょうか。

直線電流の場合，ローレンツ力はφ成分を持たないため，φ方向の運動について角運動量保存が成立します。この対称性があるためにこの問題では，円筒座標が計算ステップが少なくて有利であるように思われます。円電流もその対称性から，円筒座標または球座標の方がエレガントになるような気がしますが，実際やってみないとわかりません。

お礼

円筒座標は外積計算が不安だったため保留にしていましたが、やはりそちらの方が良さそうですね。。

御意見を参考にやり直してみることにします、ご丁寧にどうもありがとうございました！

回答No.2

yokkun831

大切なことを忘れました。

粒子が受ける力は必ず速度と垂直な方向ですから，仕事をされることがありません。したがって速さは一定でエネルギーが増加することはないはずです。

補足

ご丁寧に画像まで付けて下さりありがとうございます。
以下、問いとは少し離れた質問になってしまうため無理にお答えして頂く必要はございませんが気になったので…お時間がありましたら返答をお願いいたします。

xyz座標系でRunge-Kutta法を用いて計算した結果、無理やり毎ステップにエネルギー保存則を適用して速度を収束させていますがどうしてもrが徐々に増大してしまいます。また、時間刻みによって周期が変わってしまいます。
これはxyz座標系の限界、というべきものなのでしょうか。いずれこれを直線電流から円形電流に変えて粒子シミュレーションを行いたいと考えていますが、円筒座標ですべきなのでしょうか。

回答No.1

yokkun831

円柱座標(r,φ,z)を用いると少し見通しよくなりますが，解析的には解けないかもしれません。以下「'」で時間微分を表します。

r成分：r''-rφ'^2 = -kz'/r　　…(1)
φ成分：1/r・d/dt(r^2φ') = 0 …(2)
z成分：z'' = kr'/r　　　　　　…(3)

(2)より，r^2φ' = h = r0v0（一定）
　　∴　φ' = h/r^2
(3)より，z' = k ln(r/r0)

以上を(1)に代入して，
r'' = h^2/r^3 - k^2/r ln(r/r0)
これが解ければいいわけですが，解析的には無理っぽいですね。
両辺にr'をかけて積分すると
r' = ±√[ h^2(1/r0^2 - 1/r^2) - {k ln(r/r0)}^2 ]
ここから？？？です。

h=r0=v0=k=1とした数値積分結果を参考として添付します。