ディラックのデルタ関数δ(t)

質問

ディラックのデルタ関数δ(t)をラプラス変換すると、１になるのはなぜですか？δ(t)はt≠0で0で、-0から+0までの積分が1になるような関数（超関数）であるという説明がありますが、教科書が説明を省略しているのでよくわかりません。ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

FM-8 · ベストアンサー

ディラックのδ関数というのは，「超関数」といいまして，定義からして難しいのです．

超関数というのは，「初等関数で定義できない」
という意味で，簡単に言うと，有限の足し算やわり算やかけ算で定義できないと言うことです．

δ関数の定義は，
　t=0 f(t)=∞
　t≠0 f(t)=0
∫f(t) dt = 1 [-∞～∞]

0の周りの範囲で積分すると，1　になるというのが定義です．
ものすごく尖った関数と言うことです．

δ関数をフーリエ変換したりすることもできますが，
結局は定義に従っているだけです．

ラプラス変換は，
F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt
なので，
F(s) = 1
となるのです．e-(-s・0)=1だから．

このほかにも，世の中には，
「いたるところで微分不可能な関数」とか，
何回微分しても，自分自身になる関数e^x とか
面白いものがたくさんあります．

お礼

FM-8さん
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

Rossana

L{f(t)}=∫[0+ → ∞]f(t)e^(-st)dt
これが，ラプラス変換ですが，この式に従って素直にデルタ関数のラプラス変換を求めると
L{δ(t)}=∫[0+ → ∞]δ(t)e^(-st)dt=0となります．また，次のような定義も広く用いられています．
∫[0- → ∞]f(t)e^(-st)dt=∫[0- → 0+]f(t)dt+L{f(t)}
このL-変換を使えば，
L_{δ(t)}=∫[0- → 0+]δ(t)dt+L{δ(t)}=1+0=1
となります．デルタ関数のような-0から考慮されている関数はL-変換を用いるべきです．ですから，デルタ関数のラプラス変換は特に，L-変換の意味であると考えて下さい．
L-変換は通常の関数にも適用できるので，すべてL-変換の意味で考えるのがよいと思います．

回答No.1

guuman

片側ラプラス変換だと微妙なのです
定義により０，１／２，１のどれもとります
両側ラプラス変換だと１になります
∫［全］ｄｔ・δ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝１
片側だとδが∞になる点が０と一致しているので困るのです
δ関数をガウシアンの極限で定義すれば１／２です
１にするためには原点近くで鋸の歯１つを滑らかにしたような関数の極限で定義すればよいのです

お礼

guumanさん
ご回答ありがとうございました。