ディラックのδ関数について

質問

ディラックのδ関数について直感的なイメージを持ちたいです。

δ関数の定義
・t=0 δ(t)=∞
・t≠0 δ(t)=0
・∫[-∞～∞]δ(t)dt=1

上の定義は、δ(t)が、正規分布N(0,σ)の密度関数
g(t)=(1/√2πσ)*exp{-t^2/（2σ^2)}
の、σ→0の極限と考えればイメージできます。

しかし、

∫[-∞～∞]f(t)δ(t)dt = f(0)

という性質はどのようにイメージすれば良いのでしょうか？
数学家の方には失礼かも知れませんが、厳密な議論より
イメージをつかみたいと思っています。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368

＞δ(t)が、正規分布N(0,σ)の密度関数g(t)=(1/√2πσ)*exp{-t^2/（2σ^2)}の、σ→0の極限・・・

　じつは自分は、もっと単純なイメージでやっておりまして、任意のε＞0に対して、閉区間[0－ε/2，0＋ε/2]を考え、それ上に高さ1/εの矩形を想定すると、その面積は、任意のε＞0に対してε・1/ε＝1なので、ε→0の極限で面積が「1」の「針」を、「t＝0で」考えたものだと・・・。
　これは工学方面では、「t＝0に特異点を持つデルタ関数」と言われます。
　なので、うるさい事を言わなければ、#1さんの後半のやり方で、

＞∫[-∞～∞]f(t)δ(t)dt = f(0)

が言えます。f(t)はふつう連続で、十分小さいεで考えれば、fは[0－ε/2，0＋ε/2]上で、ほとんどf(0)の一定値なので、ε→0の極限では、f(t)＝f(0)となり定数という事で、∫dtからf(t)を追い出せて、

　　∫[-∞～∞]f(t)δ(t)dt＝∫[-ε/2～ε/2]f(t)δ(t)dt
　　　　　　　　　　　　　→f(0)・∫[-ε/2～ε/2]・1/εdt
　　　　　　　　　　　　　＝f(0)・1
　　　　　　　　　　　　　＝f(0)

となります。「t＝aに特異点を持つ」デルタ関数の場合は、定義自体をaだけ平行移動させて、#2さんの、

＞∫[-∞～∞]f(t)δ(t-a)dt = f(a)

を使います。

回答No.2

naniwacchi

「ディラックの」δ関数と言われているので、おそらく物理系の方と思います。

δ関数は、単に関数：f(x)の値を「抜き出している」ということになります。

δ関数を扱うということは、「局在化」しているものを対象にしていることになります。
たとえば、点電荷はその代表例です。
空間的にだけでなく、時間的に局在化している場合にも現れます。
「パルス」と呼ばれるような一瞬の作用に対しても使うことがあります。

最後にδ関数の一般的な使われ方は、

∫[-∞～∞]f(t)δ(t-a)dt = f(a)

となります。

回答No.1

info22

δ関数の定義
・t=0 δ(t)=∞
・t≠0 δ(t)=0
・∫[-∞～∞]δ(t)dt=1
から

aをa>0の微小な定数として

∫[-∞～∞]δ(t)dt=lim[a→+0]∫[-a～a]δ(t)dt…(■)

と書けますが

f(t)を連続関数とすると
t=-a～aの微小な範囲ではf(t)=一定=f(0) …(●)

と見なせます。
従って

∫[-∞～∞] f(t)δ(t)dt=lim[a→+0]∫[-a～a] f(t)δ(t)dt
=lim[a→+0]∫[-a～a] f(0)δ(t)dt　 (∵(●))
=lim[a→+0] f(0)∫[-a～a] δ(t)dt
=f(0)*lim[a→+0] ∫[-a～a] δ(t)dt
=f(0)*1 (∵(■))
=f(0)