デルタ関数のラプラス変換

質問

最近、学校でステップ関数とインパルス関数(デルタ関数)のラプラス変換を学びましたが、計算法がいまいちよく分かりません。
そこで、非常に基本的な質問ですが、a>0の時、f(t)=u(t-a)とf(t)=δ(t-a)の場合について、ラプラス変換を施して変換対を求める過程を詳しく教えていただきたく存じます。

回答No.1

may-may-jp · ベストアンサー

「応用解析要論」（田代嘉宏著、森北出版）p.45より。

　　　　　　0（t＜λ）
U(t-λ)＝　1/2（t＝λ）
　　　　　　1（t＞λ）　　（λ＞0）
ですから、この定義より、
L(U(t-λ))＝∫(0→∞)[e^(-st)*U(t-λ)]dt
　　　　　＝∫(λ→∞)[e^(-st)]dt
なので、変数変換τ＝t-λを行えば、dτ＝dtであり、s＞0のとき、
L(U(t-λ))＝∫(0→∞)[e^(-s(τ+λ))]dt
　　　　　＝e^(-sλ)∫(0→∞)[e^(-sτ)]dτ
　　　　　＝e^(-sλ)L(1)
　　　　　＝(e^(-sλ))／s
ということだそうです。
分からなかったら補足ください。自分もうろ覚えなんで、再回答できるかどうか自信ないですけど・・・。

回答No.4

nubou

ｕはヘビサイド関数（単位ステップ関数）だからｈと書くことにしましょう

ｇ（ｔ）の片側ラプラス変換をＳ［ｇ（ｔ）］（ｓ）とかくと
Ｓ［ｇ（ｔ）］（ｓ）≡∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｇ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）
片側ラプラス変換は右側指数増加な関数であっても変換できます
これはδ（ｔ）をラプラス変換すると考え方によって
Ｓ［δ（ｔ）］（ｓ）≡１または
Ｓ［δ（ｔ）］（ｓ）≡１／２または
Ｓ［δ（ｔ）］（ｓ）≡０である
積分範囲の境界に０があるから致命的です
インパルス応答を片側ラプラス変換する際には一理あるのですが
通常の信号は０から始まると決めつけると不都合なことが多いのです
信号の始まりが決定できない場合には無力です
また確率計算には利用しにくくなります（だから結局使用しない）

ｇ（ｔ）の両側ラプラス変換をＬ［ｇ（ｔ）］（ｓ）とかくと
Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｇ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）
両側ラプラス変換は片側ラプラス変換で発生した矛盾は発生せず
Ｌ［δ（ｔ）］（ｓ）≡１である
両側ラプラス変換は左側急減少な関数なら右側指数増加な関数にも適用できます
例えば実数τが存在してｔ＜τならばｇ（ｔ）≡０であるときです
これは信号には始まりがあるが何時始まってもいいということです

従って人工的に積分範囲を決めた片側ラプラス変換を使うのをやめて両側ラプラス変換を使いましょう
両側ラプラス変換の公式は片側ラプラス変換よりもきれいで簡単です

両側ラプラス変換表：
Ｌ［ａ・ｆ（ｔ）＋ｂ・ｇ（ｔ）］（ｓ）＝ａ・Ｌ［ｆ（ｔ）］（ｓ）＋ｂ・Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ）
Ｌ［ｇ’（ｔ）］（ｓ）＝ｓ・Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ）
Ｌ［∫（－∞＜τ＜ｔ）ｄτ・ｇ（τ）］（ｓ）＝Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ）／ｓ
Ｌ［∫（－∞＜τ＜∞）ｄτ・ｆ（τ）・ｇ（ｔ－τ）］（ｓ）＝Ｌ［ｆ（ｔ）］（ｓ）・Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ）
Ｌ［ｇ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ）
Ｌ［ｇ（ｔ）・ｅｘｐ（－ａ・ｔ）］（ｓ）＝Ｌ［ｇ（ｔ）］（ｓ＋ａ）
Ｌ［δ（ｔ）］（ｓ）＝１
Ｌ［ｈ（ｔ）・ｔ＾α］（ｓ）＝Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１）
Ｌ［ｈ（ｔ）・ｃｏｓ（ω・ｔ）］（ｓ）＝ｓ／（ｓ＾２＋ω＾２）
Ｌ［ｈ（ｔ）・ｓｉｎ（ω・ｔ）］（ｓ）＝ω／（ｓ＾２＋ω＾２）

例えば合わせ技として
Ｌ［ｈ（ｔ－ａ）・（ｔ－ａ）＾α］（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１）
αが０以上の整数ｎのとき
Ｌ［ｈ（ｔ－ａ）・（ｔ－ａ）＾ｎ］（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・ｎ！／ｓ＾（ｎ＋１）

ｈ（ｔ－ａ）とδ（ｔ－ａ）の両側ラプラス変換はａがどんな実数であっても直接定義式により求めると
Ｌ［ｈ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ－ａ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝
∫（ａ≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝ｅｘｐ（－ｓ・ａ）／ｓ
Ｌ［δ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・δ（ｔ－ａ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｔ）

ｈ（ｔ－ａ）とδ（ｔ－ａ）の片側ラプラス変換を直接定義式により求めると

０＜ａのとき
Ｓ［ｈ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ－ａ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝
∫（ａ≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝ｅｘｐ（－ｓ・ａ）／ｓ
Ｓ［δ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・δ（ｔ－ａ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｔ）

ａ＜０のとき
Ｓ［ｈ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ－ａ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝１／ｓ
Ｓ［δ（ｔ－ａ）］（ｓ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・δ（ｔ－ａ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝０

ａ＝０のとき
Ｓ［ｈ（ｔ）］（ｓ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝１／ｓ
Ｓ［δ（ｔ）］（ｓ）＝
∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・δ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝０または１／２または１

このように片側ラプラス変換は扱いにくいし適用範囲が狭いし公式が汚いし不便なのです
最初に始めた人に眼力がなかったためにこのような不便な変換が広まってしまいました
まるでマイクロソフトのｗｉｎｄｏｗｓですね

回答No.3

kony0

f(t)のラプラス変換したものをL[f(t)](s)とでも書く。
L[u(t-a)](s)は、may-may-jpさんの方法で求めて、
インパルス関数のほうは、
L[δ(t-a)](s) = L[u'(t-a)](s) = ∫(t=0～∞)u'(t-a)*exp(-st)dt
から部分積分を使ったら解けるような気がします。

微分演算子sとか積分演算子1/sとか位相をずらす演算子e^(-st)みたいなのがあったような・・・

すべてにおいてうろ覚えなので、自信なしです。ごめんなさい。
うちの院試、制御工学が圧倒的にちょろかったのに。（笑）

回答No.2

k_kaz

学校のレポートだと困るので、ヒントだけ。

わかっているかもしれませんが、
ラプラス変換の定義式は、
　　　　　∞
L(f(t))=∫　f(t)*exp(-st)dt　　（sは定数と考えてOK!）
　　　　　0
ですね？

f(t)=u(t-a)
0 (0<t<a)
1 (a<=t)

f(t)=δ(t-a)
1 (t=a)
0 (t><a) <-　tがaでない時。
ですね？

積分は分割して計算できるので、
t<aの時と、a<=tの時に分けて計算したら答えが出ます。

ちなみに、数学の問題は、図を書いてみると以外とわかりやすいです。

PS:ちゃんとつたわるかな？