教えて下さい

質問

考える気力がなくなったのでたすけてください。
長さ１の線分ＡＢを直径とする円周を動点Ｐが動くとき２ＡＰ＋３ＢＰの最大値を求めよという問題で
ＰがＡと一致するとき２ＡＰ＋３ＢＰ＝３
ＰがＡと一致しないとき、直径に対する円周角は直角だから角ＢＡＰ＝ＸとおくとＡＰ＝ＣＯＳＸ、ＢＰ＝ＳＩＮＸ
２ＡＰ＋３ＢＰ＝ＲＯＯＴ１３ＳＩＮ（Ｘ＋Ａ）
ＣＯＳＡ＝３/ＲＯＯＴ１３、ＳＩＮＡ＝２/ＲＯＯＴ１３
０＜Ｘ＜９０度より、Ａ＜Ｘ＋Ａ＜９０度＋Ａ
Ａは鋭角より、Ａ＜９０度＜９０度＋Ａ
Ｘ＋Ａ＝９０度のときＳＩＮ（Ｘ＋Ａ）の最大値は１
よって２ＡＰ＋３ＢＰの最大値はＲＯＯＴ１３
という答案でＰがＡと一致するときを角ＡＢＰが０度のとき、ＰがＡと一致しないときを角ＡＢＰが０度以上９０度より小さいとするのは、絶対駄目な不自然なようなきがするのですが自信がありません。ただマニュアルの通りにしろじゃなくてどうしておかしいかしりたいです。それともこれでもいいのでしょうか。

回答No.7

shkwta

Ｐが、ＡともＢとも一致しないとき、∠ＢＡＰ＝X とおくと

(1)∠ＡＰＢ＝90°
(2)∠ＡＢＰ＝180°－∠ＡＰＢ－ X ＝ 90°－X

この２つが成り立っています。ところが、ＰがＡに一致するとき、

(3) Xは定義できない
(4) ∠ＡＰＢは定義できない
(5) このとき
　　∠ＡＰＢ＝180°－(定義できない)－(定義できない)

(6) したがって、∠ＡＰＢは定義できない
　となるはずなのに、どうして∠ＡＰＢ＝0°なのだ？

という話だと思います。

一般に図形の証明問題で、三角形をぽんと書いてやることがありますけれど、もしかして「２つの頂点が一致して三角形が直線につぶれているかも」「３つの頂点が一致して、三角形が一点につぶれているかも」と考えておくのは大事かもしれません。（この問題の場合もそうですが）極限としては証明が成り立っていて、たまたま無事であることがよくありますが、気をつけないといけませんね。

この問題でも、「ＰとＡが限りなく一致する極限では、直線ＡＰは円のＡを通る接線だ！だからX＝90°と定義しよう」と考えてしまえば、sin, cosを使った数式も全部共通で使えて便利です。しかも、それで正しい結果が出ます。しかし、これでは何かごまかされたような気がするかもしれません。

さて、元の問題に戻ります。∠ＢＡＰ＝X　とおく方法では、ＰとＡが一致するときXが定義できません。この難点を避けるため、つぎのようにします。この方法であれば、場合分けは不要となり、すっきりした説明ができます。

(1) ∠ＰＯＢ＝θ　とする。(0≦θ≦180°)

(2) (θ/2)＝X　とおく。0≦X≦90°となります。

このXは、Ｐ点がどこにあっても定義できます。ここで、∠ＰＯＢの二等分線を考えると、

(3) ＢＰ＝２×(半径)×sin(θ/2)＝sin X

が成立します。また、∠ＰＯＡの二等分線を考えると、

(4) ＡＰ＝２×(半径)×sin{(180°－θ)/2}＝２×(半径)×sin(90°－X)＝cos X
※公式 sin(90°－X) = con X を使っています。

(5) したがって、2ＡＰ＋3ＢＰ＝2 cos X + 3 sin X＝(√13)sin(X＋α）；ただし tan α＝2/3
tan αは正なので 0≦α≦90°となるようにαを決められます。
よって、X+α＝90°になるようにXを選ぶことができて、そのとき2ＡＰ＋3ＢＰ＝√13　となり、これが最大値です。

回答No.6

hidecho

訂正
×∠Aは∠BAPと一致
○∠Aは∠ABPと一致

追伸　何回か同様の質問されていたんですね^^
　「絶対だめな不自然なようなきがする」のは、ほかの人がいくらお話しても納得できないと思います。
きっと、ご自分の中に「これじゃだめだよ～」って判断するものがあるのでしょうね。
残念ながら、外からはそこまでわからないので、ご自分でご自分に「これでいいんだよ」って言ってあげてください。

補足

hidechoさんの答えは、角ＡＢＰ＝０度のときの言い方は不自然（おかしい）といういみでしょうか。

回答No.5

peror

＞ＰがＡと一致するときを角ＡＢＰが０度
は極限を考えるなら、９０度でしょう。PとBが一致した時が０度だと思います。

回答No.4

hidecho

ANo.2　の補足です。
でも
「sin（X+A)の値がMAX値1」になるっていうのですからX+A＝90゜
結果的には
∠X＝∠BAPとしていましたから
∠Aは∠BAPと一致しますネ♪

回答No.3

springside

ずいぶんと長い間、同じ問題を考えているんですね。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=484177
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=503598
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=528812
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=780723

以前から何度も何度もこの問題を質問されていて、上記のように既に多くの回答が寄せられていますが、これらの回答は理解されていますか。
同じ質問・同じ回答（おそらく）は、非効率的だと思いますが。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=780723

回答No.2

hidecho

加法定理に使われた角Aについての範囲ですが、斜辺√13、底辺３、高さ２の三角形の∠Ａが90゜より小さいといっているので「∠ＡＢＰが０度以上９０度より小さいとするのは…」ということではないと思います。^^

回答No.1

yumisamisiidesu

> ＰがＡと一致するときを角ＡＢＰが０度のとき、
> ＰがＡと一致しないときを角ＡＢＰが０度以上９０度より小さいとするのは、
> 絶対駄目な不自然なようなきがする
いいと思いますが
どういうところで不自然に思われたのか教えてほしいです．
気になったところ別の意味なのに同じ記号を使ってるところですね
Aと言う記号を2つの意味で使っています
これは改めて、
２ＡＰ＋３ＢＰ＝ＲＯＯＴ１３ＳＩＮ（Ｘ＋Ａ）の
ＲＯＯＴ１３ＳＩＮ（Ｘ＋Ａ）のAは"α:アルファ"にでもした方がいいと思います