数学Aの証明問題です。

質問

AB＝ACである二等辺三角形ABCの辺BC上に点P,辺BCの延長上に点Qをとると、AP＜AB＜AQであることを証明せよ。ただし、P,Qは三角形の頂点と一致しないものとする。
という問題なのですが、
△ABPにおいて
角ABP＝角CAP+角ACP
角B＝角C
よって　角APB＞角Ｂ
ゆえに　AB＞AP
△APQにおいて
角Q＝角BCA-角CAQ
角B＞角Q
と、ここまで解いてみましたが、少し混乱してます。解き方お願いします。（角の記号の出し方がわからないんで漢字です。）

回答No.2

thetas · ベストアンサー

まず、∠ＡＢＣの「∠」の出し方は「かく」の変換をすればでてきますよ。

では、本題に入ります。

図がかけませんので、２点Ｐ、Ｑの場所ですが、
以下の説明では、
（左から）Ｂ、(Ｍ)、Ｐ、Ｃ、Ｑの順に並んでいると思ってください。
Ｍは線分ＢＣの中点です。つまり、ＰはＢよりＣに近いということです。

あと、教科書にのっている定理で、今回の証明に必要なものを書きます。

「△ＤＥＦにおいて、∠Ｅ＜∠Ｆ　⇒　ＤＦ＜ＤＥ」

なお、現在高１用の数学Ａと仮定して書きます。
なにしろ、高２以上の数学Ａですと、学校で扱わないためよく内容を知りませんから。

まず、ＡＰ＜ＡＢの証明をします
とはいえ、証明の骨格はできているとおもいますので、書き方の問題でしょう。
数学の証明は、数式を使った説明ですので、それを意識してみてください。

では、証明の一例です。
「（△ＡＰＣの外角の定理より）∠ＡＰＢ＝∠ＡＣＢ＋∠ＰＡＣ
　　　ＡＢ＝ＡＣ　より、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ　・・・・・・(1)
　　　よって、∠ＡＰＢ＝∠ＡＢＣ＋∠ＰＡＣ＞∠ＡＢＣ
　（△ＡＢＰにおいて、上記定理より）ＡＰ＜ＡＢ」　

次に、ＡＢ＜ＡＱの証明です。
「（△ＡＣＱの外角の定理より）∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＱ＋∠ＡＱＢ
　　　(1)より、∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＱ＋∠ＡＱＢ＞∠ＡＱＢ
　（△ＡＢＱにおいて、上記定理より）ＡＢ＜ＡＱ」

一応、「」の中を書けば答案になると思います。
ただ、（）の中のことを書けばよりよいと思います。
なにしろ、（）をなくすと、言葉が何もないから・・・。
なお、（）内の「上記定理」は書き直すべきでしょうけど・・・。

お礼

模範解答まで書いてくださってありがとうございます。
解説も細かくわかりやすかったです。

回答No.4

fushigichan

inaba19さん、こんにちは。
模範解答がすでに出ているようですし、inaba19さんが自力でほとんど
解いていらっしゃるようですが、どこが分かりにくいところがあるんですね。

＞△ABPにおいて
角ABP＝角CAP+角ACP
　↑
まず、ここ∠ＡＰＢですね。
△ＡＢＰにおいて、というよりか、△ＡＰＣと底辺ＰＣの作る∠ＡＰＢ
を見ています。

＞角B＝角C 　であるから、
＞よって　角APB＞角Ｂ （＝∠ＡＢＰ）
ゆえに　AB＞AP

ここまでは、これでいいと思います。
後半

＞△APQにおいて
角Q＝角BCA-角CAQ

これも、△ＡＰＱというよりか、△ＡＣＱとその底辺ＣＱの作る∠ＡＣＰ
を考えています。

∠ＡＣＰ＝∠ＱＡＣ＋∠ＡＱＣ
ですが、
左辺(∠ＡＣＰ）＝∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＱですから

今度は△ＡＢＱを見てみますと、
∠ＡＢＱ＝∠ＱＡＣ＋∠ＡＱＣとなっているので
∠ＡＢＱ＞∠ＡＱＣ（＝∠ＡＱＢ）

となるので、△ＡＢＱにおいて
∠Ｂ＞∠Ｑ
ゆえに
ＡＢ＜ＡＱ
となります。

∠の出し方は、＃２の方が書いておられますが「かく」と打って変換で出ます。ご参考までに。

お礼

アドバイスありがとうございます。自分で解いたところを見ていただけて、何処を直せばいいのかなどがわかりました。参考にさせていただきます。

回答No.3

daisangenn

#1のdaisangennです。
少し補足します。

点Pが点Mよりも点C側にあるときは、
AP<ABをAP<ACと考えて、△AMPと△AMCに着目してください。

でも＃2さんの証明の方が簡単そうですね。

回答No.1

daisangenn

言葉で説明するので分かりにくいかもしれませんが・・・。

点Qは辺CBをB方向に延長したところにとった場合を考えます。つまり、QBCの順に並びます。

今、辺BCの中点を点Mとします。するとAM⊥BCになる。
まずAP＜ABを証明します。
△AMPと△AMBを考えると、AM共通、MP＜MB、AM⊥BCで、AB、APは直角三角形の斜辺となるから、AP＜ABになる。（つまり、AP^2=AM^2+PM^2,AB^2=AM^2+BM^2でAM共通、PM<BPより、AP<AB)

次にAB<AQを証明します。
△AMBと△AMQを考えると、AM共通、MB<MQより、AB<AQとなる。（前回と同じ理由)

よって、AP<AB<AQになる。

点Qが点C側にあるときも同様の議論で証明できます。

少し分かりにくいところがあるかもしれませんが、その時は又質問してください。

お礼

回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。