空間ベクトルの問題の連立方程式が分かりません

質問

xyz空間に２点 A(-1,-1,0) B(1,1,2) をとる。
△ABPが正三角形になるようなxy平面上の点Pの座標をすべて求めよ。

[P(x,y,0)とおく。AP^2＝BP^2＝12　から　2x^2－2x－7＝0]

という問題なのですが、[]内の連立方程式の計算がどうしても合いません。
ここの計算式を含めて教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

Ａ（ｘa，ｙa，ｚa）　＝　（－１、－１，０）
Ｂ（ｘb，ｙb，ｚb）　＝　（１，１，２）
Ｐ（ｘ，ｙ，０）

ＡＢ^2　＝　（ｘa－ｘb）^2　＋　（ｙa－ｙb）^2　＋　（ｚa－ｚb）^2
　＝　（－１－１）^2　＋　（－１－１）^2　＋　（０－２）^2
　＝　２^2　＋　２^2　＋　２^2
　＝　１２

ＡＰ^2　＝　（ｘa－ｘ）^2　＋　（ｙa－ｙ）^2　＋　（ｚa－０）^2
　＝　（－１－ｘ）^2　＋　（－１－ｙ）^2　＋　（０－０）^2
　＝　ｘ^2　＋　２ｘ　＋　１　＋　ｙ^2　＋　２ｙ　＋　１
　＝　ｘ^2　＋　２ｘ　＋　ｙ^2　＋　２ｙ　＋　２

ＢＰ^2　＝　（ｘb－ｘ）^2　＋　（ｙb－ｙ）^2　＋　（ｚb－０）^2
　＝　（１－ｘ）^2　＋　（１－ｙ）^2　＋　（２－０）^2
　＝　ｘ^2　－　２ｘ　＋　１　＋　ｙ^2　－　２ｙ　＋　１　＋　４
　＝　ｘ^2　－　２ｘ　＋　ｙ^2　－　２ｙ　＋　６

正三角形なので、
ｘ^2　＋　２ｘ　＋　ｙ^2　＋　２ｙ　＋　２　＝　１２
ｘ^2　－　２ｘ　＋　ｙ^2　－　２ｙ　＋　６　＝　１２

ｘ^2　＋　２ｘ　＋　ｙ^2　＋　２ｙ　－　１０　＝　０　　・・・（あ）
ｘ^2　－　２ｘ　＋　ｙ^2　－　２ｙ　－　６　＝　０　　・・・（い）

（あ）＋（い）より
２ｘ^2　＋　２ｙ^2　－　１６　＝　０
ｘ^2　＋　ｙ^2　－　８　＝　０　　・・・（う）

（あ）－（い）より
４ｘ　＋　４ｙ　－　４　＝　０
ｙ　＝　１－ｘ　　・・・（え）

（え）を（う）に代入。
ｘ^2　＋　（１－ｘ）^2　－　８　＝　０
ｘ^2　＋　ｘ^2　－２ｘ　＋　１　－　８　＝　０
２ｘ^2　－　２ｘ　－　７　＝　０

合いました。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり計算ミスをしていたようです…
とても助かりました。

回答No.3

hesaid

空間の問題では、常に図をイメージしながら解く訓練をすることが肝要です。

AP^2=BP^2=12は、点Pが、Aを中心とする半径2√3の球体と、Bを中心とする同じ半径の球体を重ねた部分、即ち円を描いていることをイメージしましょう。この円がxy平面（z=0）に突き刺さっている部分が、求める点に他なりませんので、1～2つ解があると想像できます。

あるいは、求める点Pが線分ABの垂直二等分面：x+y+(z-1)=0とxy平面:
z=0との交わり示す直線：(x,y,z)=t(1,1-t,0)（t：実数）上にあり、線分ABの中点からの距離が3である（図を描いてみて！）ことを利用すれば、計算もラクです。

お礼

回答ありがとうございます。
問題を解く上でとても参考になりました！

回答No.1

koko_u_u

>[]内の連立方程式の計算がどうしても合いません。

どういう風に「合わない」のか補足にどうぞ。

補足

AP^2＝(-x-1)^2＋(-y-1)^2＋0
　　＝x^2＋y^2＋2x＋2y＋2
BP^2＝(x-1)^2＋(y-1)^2＋(0-2)^2
　　＝x^2＋y^2－2x－2y＋6

となると思うのですが、ここからどうすれば2x^2－2x－7＝0になるのかが分からないんです…。

説明が足りなかったらすみません；
これ以上どう言えばいいか…　
ここから進めなくなってしまったので解き方を教えて頂きたいのです＞＜