教えて下さい

質問

長さ１の線分ABを直径とする円周上を動点Pが動くとき
２AP+３BPの最大値を求めよで、角BAP＝Zとおく
隣辺/斜辺＝COSZ　対辺/斜辺＝SINZ　この三角関数がわからないとします。しかし座標をつくって原点をA、第一象限内に長さ１の線分ABがAを中心として動き角BAX＝Z

とします。角BAXのXはX軸のことだとします。BからX軸に垂線を引き交点をPとします。B（X,Y)とします。X/AB＝COSZ
Y/AB＝SINZとかんがえて解くことをおもいつきました。
AP/AB＝X/AB、BP/AB＝Y/AB
ところでこの図の変形は一つでしたが、PがAと一致するとき、PがBと一致するとき、PがAとBと一致しない場合の３個の図をかいてそれぞれを変形させるのはおかしいでしょうか。但しどうしてもこの変形する考え方にするとします。またこの考え方をするのは結局は最初の考え方と一緒だからおかしいでしょうか。

回答No.1

springside · ベストアンサー

ややこしいことをお考えのようですが、以下のように解けばよいのではないでしょうか。（図を書きながら読んでください）

ＡＢの中点（つまり円の中心）をＣ、点ＣからＡＰに下ろした垂線の足をＤ、点ＣからＢＰに下ろした垂線の足をＥと置く。また、∠ＢＡＰをθと置く。
このとき、∠ＡＢＰ＝９０°－θである。
（∵△ＡＰＢは∠Ｐ＝９０°の直角三角形だから）
また、０°≦θ＜９０°である。

すると、△ＣＡＰ、△ＣＢＰはともに二等辺三角形なので、
ＡＰ＝２ＡＤ＝２×（１／２）ｃｏｓθ＝ｃｏｓθ
ＢＰ＝２ＢＥ＝２×（１／２）ＣＯＳ（９０°－θ）＝ｓｉｎθ

よって、
２ＡＰ＋３ＢＰ＝２ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ
＝√１３ｓｉｎ（θ＋α）　（三角関数の合成公式による）
（ただし、αは、ｓｉｎα＝２／√１３、ｃｏｓα＝３／√１３となるような角）
となる。

今、０°≦θ＜９０°であるから、α≦θ＋α＜９０°＋αであり、また、０°＜α＜９０°なので、この範囲において、ｓｉｎ（θ＋α）は最大値１をとる（θ＋α＝９０°のとき）

よって、２ＡＰ＋３ＢＰの最大値は√１３である。

なお、ＰがＢに一致するときはθ＝０°であり、また、ＰがＡに一致するときはθ→９０°と見なされる。

お礼

ありがとうございました。もうしわけないのですが自分は自分自身の考え方がどうも不自然な感じがするのです。おかしいことをいってるような気がします。三角関数がわからないというのがおかしいでしょうか。Bの座標がCOSZ、SINZというのが定義でもとめられるというのは三角比から来てるとおもうのですが、すいませんが質問の考えかたがまちがっているとおもうのですが、よろしければ座標をもってくる考えかたが無駄でおかしいかおかしくないかおしえてください。